ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_18
.pdfДругие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
Сокращения:
ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.
ИДЗ-11.1
1.18. Найти о/и ДУ.
sin x y y cos x 2cos x
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
sin x dy |
( y 2)cos x |
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
cos xdx |
|||
y 2 |
|
|
sin x |
||
|
dy |
|
|
d(sin x) |
|
y 2 |
sin x |
ln y 2 ln sin x ln C ln y 2 ln C sin x
y 2 C sin x
Ответ: о/р: y C sin x 2, где C const
2.18. Найти о/и ДУ.
(1 x3 ) y3dx ( y2 1)x3dy 0
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
( y2 1)x3dy (1 x3 ) y3dx
( y2 1)dy |
|
(1 x3 )dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
y |
|
|
y |
|
dy |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
ln |
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x C |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2y2 |
2x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: о/и: ln y 21y2
12 x C, где C const
2x
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html
3.18. Найти о/и ДУ.
(4x2 3xy y2 )dx (4y2 3xy x2 )dy 0
Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx
(4x2 3x tx t2 x2 )dx (4t2 x2 3x tx x2 )(xdt tdx) 0
(4 3t t2 )dx (4t2 |
3t 1)(xdt tdx) 0 |
|||||||||||||||
(4 3t t2 )dx (4t2 |
3t 1)xdt (4t2 3t 1)tdx 0 |
|||||||||||||||
(4 3t t2 4t3 3t2 t)dx (4t2 3t 1)xdt 0 |
||||||||||||||||
(4t2 3t 1)xdt (4t3 |
4t2 4t 4)dx |
|||||||||||||||
(4t2 3t 1)dt |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4t3 |
4t2 4t 4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
(4t2 3t 1)dt |
|
dx |
||||||||||||
4 |
t(t2 1) t2 1 |
|
|
|
x |
|||||||||||
1 |
|
(4t2 3t 1)dt |
ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
(t 1)(t2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
|
A |
|
|
|
Bt C |
|
|
(4t2 |
3t 1) |
|
||||||||||
t 1 |
|
t2 |
1 |
|
(t |
1)(t2 1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A(t2 1) B(t2 t) C(t 1) 4t2 3t 1 |
||||||||||||||||||||
A B 4 |
|
|
|
A B 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B C |
A B 2 2B 6 B 3; A 1; C 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A C |
|
|
|
C 1 A |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
C |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
ln |
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
t |
2 |
1 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
|
t 1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
ln |
|
d(t |
2 1) |
ln |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
t |
2 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 ln |
|
|
|
t 1 |
|
|
3 ln |
|
t2 1 |
|
ln |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Обратная замена: t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
ln |
|
|
y |
1 |
|
|
3 |
ln |
|
y2 |
|
1 |
|
|
ln |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
x |
|
8 |
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: о/р: |
|
1 |
ln |
|
y x |
|
|
3 |
ln |
|
y2 x2 |
|
ln |
|
C |
|
, где C const |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
8 |
|
x2 |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты
Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html |
|
|||||||||||||||||
4.18. Найти ч/р ДУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xy (x 1) y 3x2e x , |
y(1) 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Данное |
|
|
уравнение |
|
|
|
|
|
является |
линейным |
неоднородным, |
замена: |
||||||
y uv y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
x |
|
|
|
|
|||||
x(u v uv ) (x 1)uv 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
xuv |
|
(x 1)uv |
2 |
e |
x |
|
|
|
|
|
||||||
xu v |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
u(xv |
|
|
|
|
|
2 |
e |
x |
|
|
|
|
||||
xu v |
|
(x 1)v) 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
xv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)v 0 |
. |
|
|
|
||||||||
Решим систему: |
|
|
|
|
2 |
e |
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
xu v |
3x |
|
|
|
|
|
|
Из первого уравнения найдем v(x) :
xdvdx (x 1)v
dv (x 1)dx
vx
ln |
|
|
v |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln |
|
v |
|
x ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
v e x ln |
|
x |
|
|
1 e x – подставим во второе уравнение: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
xu x e |
|
|
|
|
|
x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
3x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
du 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u 3 x2dx x3 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом: |
|
1 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||||||
о/р: y uv (x |
3 |
C) |
e |
x |
|
2 |
|
x |
, где C const |
|||||||||||||||||
|
x |
|
x |
|
e |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(1) 1 C e 1 0 C 1
|
2 |
|
1 |
|
x |
Ответ: ч/р: y x |
|
x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты