Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ryaba_diffury / ryaba_diffury / Ряба_ДУ_18

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
14.02.2015
Размер:
41.52 Кб
Скачать

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.1

1.18. Найти о/и ДУ.

sin x y y cos x 2cos x

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

sin x dy

( y 2)cos x

 

 

dx

 

 

 

dy

cos xdx

y 2

 

 

sin x

 

dy

 

 

d(sin x)

y 2

sin x

ln y 2 ln sin x ln C ln y 2 ln C sin x

y 2 C sin x

Ответ: о/р: y C sin x 2, где C const

2.18. Найти о/и ДУ.

(1 x3 ) y3dx ( y2 1)x3dy 0

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

( y2 1)x3dy (1 x3 ) y3dx

( y2 1)dy

 

(1 x3 )dx

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

y

 

 

y

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

ln

 

y

 

 

1

 

 

 

 

1

 

x C

 

 

 

 

 

 

 

 

2y2

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: о/и: ln y 21y2

12 x C, где C const

2x

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

3.18. Найти о/и ДУ.

(4x2 3xy y2 )dx (4y2 3xy x2 )dy 0

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy xdt tdx

(4x2 3x tx t2 x2 )dx (4t2 x2 3x tx x2 )(xdt tdx) 0

(4 3t t2 )dx (4t2

3t 1)(xdt tdx) 0

(4 3t t2 )dx (4t2

3t 1)xdt (4t2 3t 1)tdx 0

(4 3t t2 4t3 3t2 t)dx (4t2 3t 1)xdt 0

(4t2 3t 1)xdt (4t3

4t2 4t 4)dx

(4t2 3t 1)dt

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

4t3

4t2 4t 4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(4t2 3t 1)dt

 

dx

4

t(t2 1) t2 1

 

 

 

x

1

 

(4t2 3t 1)dt

ln

 

x

 

ln

 

C

 

 

 

 

 

4

(t 1)(t2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

 

A

 

 

 

Bt C

 

 

(4t2

3t 1)

 

t 1

 

t2

1

 

(t

1)(t2 1)

 

 

 

 

A(t2 1) B(t2 t) C(t 1) 4t2 3t 1

A B 4

 

 

 

A B 4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B C

A B 2 2B 6 B 3; A 1; C 0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A C

 

 

 

C 1 A

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

3t

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

ln

 

 

 

 

4

 

 

 

 

t

2

1

x

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

 

t 1

 

 

 

1

 

3

ln

 

d(t

2 1)

ln

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

2

 

 

 

t

2

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ln

 

 

 

t 1

 

 

3 ln

 

t2 1

 

ln

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратная замена: t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

 

y

1

 

 

3

ln

 

y2

 

1

 

 

ln

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

x

 

8

 

x2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: о/р:

 

1

ln

 

y x

 

 

3

ln

 

y2 x2

 

ln

 

C

 

, где C const

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

x

 

 

8

 

x2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

 

4.18. Найти ч/р ДУ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy (x 1) y 3x2e x ,

y(1) 0

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данное

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

является

линейным

неоднородным,

замена:

y uv y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

e

x

 

 

 

 

x(u v uv ) (x 1)uv 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xuv

 

(x 1)uv

2

e

x

 

 

 

 

 

xu v

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(xv

 

 

 

 

 

2

e

x

 

 

 

 

xu v

 

(x 1)v) 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)v 0

.

 

 

 

Решим систему:

 

 

 

 

2

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xu v

3x

 

 

 

 

 

 

Из первого уравнения найдем v(x) :

xdvdx (x 1)v

dv (x 1)dx

vx

ln

 

 

v

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

v

 

x ln

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v e x ln

 

x

 

 

1 e x – подставим во второе уравнение:

 

 

 

 

xu x e

 

 

 

 

 

x

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du 3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 3 x2dx x3 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

1

 

 

 

 

 

C

 

 

о/р: y uv (x

3

C)

e

x

 

2

 

x

, где C const

 

x

 

x

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Найдем ч/р, соответствующее заданному начальному условию: y(1) 1 C e 1 0 C 1

 

2

 

1

 

x

Ответ: ч/р: y x

 

x

e

 

 

 

 

 

 

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в папке ryaba_diffury