Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряба_ДУ_8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

113.05 Кб

Скачать

☆

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Сокращения:

ДУ – дифференциальное уравнение; о/р – общее решение; о/и – общий интеграл; ч/р – частное решение.

ИДЗ-11.1

1.8. Найти о/и ДУ

y (2y 1)tgx

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

dy	(2y 1) sin x
dx		cos x
dy		sin xdx
(2y 1)		cos x
1	d(2y 1)		d(cos x)
2	(2y 1)		cos x

12 ln 2y 1 ln cos x ln C ln 2y 1 ln cosC x

Ответ: о/и: 2y 1 cosC x , где C const

2.8. Найти о/и ДУ.

(x xy2 )dy ydx y2dx 0

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

(x xy2 )dy ( y2 y)dx x(1 y2 )dy y( y 1)dx

( y2 1)dy

y y 1

y 1

dy ln

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:

A		B			y 1
y		y 1			y( y 1)

A( y 1) By y 1

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

A B 1

A 1; B 2

y 1

dy ln

y 1

dy ln

y ln y 2ln y 1 ln x C

Ответ: о/и:	y	( y 1)		2	ln	x	C,	где C const

			y

3.8. Найти о/и ДУ.

xy y xe x

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену: y tx dy t x t

x(t x t) tx xe x t x t t et

x dxdt et

e t dt dxx e t ln x ln C

Обратная замена: t xy

Ответ: о/и: e x ln Cx , где C const

4.8. Найти ч/р ДУ.

cos ydx (x 2cos y)sin ydy , y(0)

Решение: cos y x (x 2cos y)sin y cos y x xsin y 2cos ysin y

cos y x xsin y sin 2y

Данное уравнение является линейным неоднородным относительно x , проведем замену: x uv x u v uv

cos y (u v uv ) uvsin y sin 2y u vcos y uv cos y uvsin y sin 2y u vcos y u(v cos y vsin y) sin 2y

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

v cos y vsin y 0	.
Решим систему:	.
u vcos y sin 2y

Из первого уравнения найдем v( y) : cos y dydv vsin y

dv sin ydy

vcos y

dv d(cos y)

vcos y

ln v ln cos y

cos y

– подставим во второе уравнение:

cos y

cos y sin 2y

cos y

du sin 2y

u sin 2ydy C

1 cos 2y

Таким образом:

о/р: x uv C

cos 2y

, где C const

cos y

Найдем ч/р, соответствующее начальному условию y(0) 4 :

		1			1
0	C		cos
0	C	2	cos	2
		2		2	cos
						4

0 (C 0) 2 C 0

Ответ: ч/р: x cos2y

2cos y

ИДЗ-11.2

1.8. Найти ч/р ДУ и вычислить значение полученной функции при x x0 с

точностью до двух знаков после запятой.

y e2 x , x0 12 , y(0) 98 , y (0) 14 , y (0) 12

Решение:

Данное уравнение имеет вид y(n) f (x) . Трижды интегрируем правую часть:

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

y e2 xdx 12 e2 x C1

В соответствии с начальным условием: y (0) 12 C1 12 C1 1

y	1	e	2 x		1	e	2 x	x C2
y	2	e		1 dx	4	e		x C2
	2				4

В соответствии с начальным условием: y (0) 14 0 C2 14 C2 0

y1 e2x x dx 1 e2x x2 C

4 8 2 3

Всоответствии с начальным условием:

y(0) 81 0 C3 89 C3 1

Таким образом, искомое ч/р: y							1	e	2 x	x2	1
Таким образом, искомое ч/р: y							8	e		2	1
							8			2
	1	y	1	e	1	1 0,33 0,125			1 1,22
y	2	y	8	e	8	1 0,33 0,125			1 1,22
	2		8		8

Ответ: ч/р: y	1	e	2 x	x2			1
					1,	y		1,22
	8			2			2

2.8. x2 y xy 1

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная y , првоедем замену: y z y z

x2 z xz 1

Полученное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену: z uv z u v uv

x	2
x		(u v uv ) xuv 1
x	2		2	uv	xuv 1
x		u v	x	uv	xuv 1
x	2		xu(xv			v) 1
x		u v	xu(xv			v) 1
Решим систему:							xv v 0		.
Решим систему:							2		.
							x	u v 1

Из первого уравнения найдем v(x) : x dvdx v

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

dvv dxx

ln v ln x ln v ln 1x

v 1x – подставим во второе уравнение:

x 1

u dx

Таким образом:

z uv

Обратная замена: z y

y ln

d(ln x) C1

ln2

C1 ln

Ответ: общее решение: y

ln2

C ln

, где C ,C

const

4.8. Найти о/и ДУ.

(1 e y )dx e y

Решение:

P (1 e y ) ,

Q e y

(1 e

)

0 e

y y

e y

e y 1

e y

x	/	1		x
	/
			e y 1
			e y 1
		y
y x		y

x		x
	e	y	0


y

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

Q , значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах.

dF(x; y)

(1 e

)

F(x; y) (1 e

)dx x ye

( y)

x ye

( y)

0 e

y ( y) e

y ( y) 0 y ( y) C const

Ответ: о/и: x ye

где C const

ИДЗ-11.3

1.8. Найти о/р ДУ.

а) y 49 y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 49 0

1 7 , 2 7 – различные действительные корни

Ответ: о/р: y C1e 7 x C2e7 x , где C1,C2 const

б) y 4y 5y 0

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

2 4 5 0

D 16 20 4

	4 2i	2 i – сопряженные комплексные корни
1,2	2
	2
Ответ: о/р: y e2 x (C sin x C			2	cos x), где	C ,C	2	const
		1	2		1	2

в) y 2y 3y 0

Решение: Характеристическое уравнение:

2 2 3 0

D 4 12 16;			D	4
	2 4		3 ,		1 – различные действительные корни
1,2	2	1	2
	2
Ответ: о/р: y C e 3x C						ex , где	C ,C	2	const
			1		2		1	2

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

2.8. Найти о/р ДУ. y 6y 10y 74e3x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 6y 10y 0

Характеристическое уравнение:

2 6 10 0

D 36 40 4

6 2i

1,2 2

1,2 3 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р: Y e 3x C1 cos x C2 sin x .

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Ae3x .

~y 3Ae3x ~y 9Ae3x

Подставим y

, y ,

в левую часть неоднородного уравнения:

y 6y 10y 9Ae3x 18Ae3x 10Ae3x 37e3x 74e3x

A 2

Таким образом: y

C1 cos x C2 sin x 2e

где C1,C2 const

Ответ: о/р: y Y y

3.8. Найти о/р ДУ

y 4y 8 16x

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения:

y 4y 0

Характеристическое уравнение:

2 4 0

( 4) 0

0 ,

– различные действительные корни, поэтому о/р: Y C C

e4 x

Bx .

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: y

~y 2Ax B

y 2A

, y

в левую часть неоднородного уравнения:

Подставим y

y 4y 2A 4(2Ax B) 2A 8Ax 4B 8 16x

8A 16

A 2; B 1

Таким образом: y

C1 C2e

4 x

x, где

C1,C2 ,C3 const

Ответ: о/р: y Y y

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

4.8. Найти ч/р ДУ, соответствующее заданным начальным условиям.

y		12y		36y 32cos 2x 24sin 2x ;	y(0) 2 ;
						y (0) 4

Решение: Найдем о/р соответствующего однородного уравнения: y 12y 36y 0

2 12 36 0 ( 6)2 0

1,2 6 – кратные действительные корни о/р: Y C1e6 x C2 xe6 x , где C1,C2 const

Ч/р неоднородного уравнения ищем в виде: ~y Acos 2x B sin 2x .

~y 2Asin 2x 2B cos 2x ~y 4Acos 2x 4Bsin 2x

Подставим ~y и ~y в левую часть неоднородного уравнения:

y 12y 36y 4Acos 2x 4Bsin 2x 24Asin 2x 24B cos 2x 36Acos 2x 36Bsin 2x

32A 24B cos 2x 24A 32B sin 2x 32cos 2x 24sin 2x

32A 24B 32			12A 9B 12				25B 0 B 0; A 1
						12
24A 32B 24			12A 16B
Таким образом: y cos 2x .
			~
О/р неоднородного уравнения:
~	C1e	6 x	C2 xe	6 x	cos 2x,	где C1,C2 const
y Y y

Найдем ч/р, соответствующее заданным начальным условиям: y 6C1e6 x C2e6 x 6C2 xe6 x sin 2x

y(0) C1 1 2		C1	1;C2	2
	C2 4
y (0) 6C1
Ответ: ч/р:	y e6 x 2xe6 x cos 2x

5.8. Определить и записать структуру ч/р y* линейного неоднородного ДУ по виду функции f (x)

y 4y 4y f (x)
а) f (x) sin 2x 2ex	б) f (x) x2 4

Решение: Найдем о/р однородного уравнения: y 4y 4y 0

2 4 4 0 ( 2)2 0

1,2 2 – кратные действительные корни, поэтому о/р:

Y C1e2 x C2 xe2 x , где C1,C2 const

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

а) Правая часть имеет вид

f (x) sin 2x 2ex .

Acos2x Bsin 2x Ce

Ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде y

б) Правая часть имеет вид

f (x) x2 4 .

Bx C .

Ч/р неоднородного уравнения следует искать в виде y

ИДЗ-11.4

3.8. Решить ДУ методом вариации произвольных постоянных

2y sin2 x

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y 2y 2y 0

D 4 8 4

2 2i

1 i – сопряженные комплексные корни, поэтому о/р:

1,2

Y ex (C1 cos x C2 sin x) .

Используем метод вариации произвольных постоянных. Общее решение

неоднородного уравнения ищем в виде: y Z (x)ex cos x Z

(x)ex sin x

Функции Z1(x) , Z2 (x)

найдем как решение системы:

Z (x) y Z

(x) y

f (x)

(x) y1

(x) y2

(x)

В данном случае:

ex cos x

y1 ex cos x ex sin x ex (cos x sin x)

ex sin x

sin x

cos x e

(sin x cos x)

f (x)

sin2 x

a0 (x) 1

Таким образом:

cos x

Z1(x) e

sin x Z2 (x) 0

(cos x sin x) Z1(x)

(sin x cos x) Z2 (x)

sin

Систему решим по формулам Крамера:

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathprofi.ru/idz_ryabushko_besplatno.html

W	ex cos x	ex sin x	e2 x (cos xsin x cos2	x)
	ex (cos x sin x)	ex (sin x cos x)

e2 x (sin xcos x sin2		x) e2 x (cos xsin x cos2 x sin xcos x sin2 x) e2 x 0

Таким образом, система имеет единственное решение.

ex sin x

ex (sin x cos x)

sin2 x

e2 x

sin x

Z1(x) W

e2 x

sin x

Z (x)

sin x

2sin

cos

d ctg

ctg

		e2 x sin x		e2 x
		sin2 x		sin x

cos

2sin

ctg

2sin

sin

ex cos x

2 x

cos x

(cos x sin x)

sin2 x

e2 x cos x

cos x

Z1(x)

sin2 x

e2 x

Z2 (x)

cos x

d(sin x) dx C2

sin2 x

sin x

sin2 x

В результате:

y ln

ctg

cos x

sin x

Ответ: общее решение:

y ln

ctg

cos x

sin x,

где C1,C2 const

sin x

Приветствуется свободное распространение данного файла, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в папке ryaba_diffury

#
14.02.201541.52 Кб29Ряба_ДУ_18.pdf
#
14.02.201542.51 Кб52Ряба_ДУ_22.pdf
#
14.02.201599.85 Кб24Ряба_ДУ_3.pdf
#
14.02.2015106.41 Кб66Ряба_ДУ_5.pdf
#
14.02.2015105.31 Кб22Ряба_ДУ_6.pdf
#
14.02.2015113.05 Кб38Ряба_ДУ_8.pdf