Matematika_Zaytsev_ch2
.pdfТак как на границе области функция u = 0 и u > 0 внутри области, то в найденной точке M достигается для функции наибольшее значение.
Итак, наибольшее значение u = c4, если x = y = z = t = c.
Отметим, что результат будет аналогичным для любого числа сомножителей. •
21. Среди всех треугольников данного периметра 2p найти тот, площадь которого S наибольшая.
• Пусть x, y, z означают стороны треугольника. По теореме Герона имеем
S = p( p − x )( p − y )( p − z ) .
Задача сводится к нахождению наибольшего значения для произведения положительных чисел u = (p – x)(p – y)(p – z) при условии, что их сумма постоянна:
(p – x) + (p – y) + (p – z) = 3p – 2p = p.
Как следует из решения предыдущей задачи, для этого все множители должны
быть равны, так что |
x = y = z = |
2 p |
. |
|||||||||
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
треугольник |
должен быть равносторонний и его площадь |
||||||||||
|
|
|
2 p 3 |
|
p2 |
|
|
|||||
S = |
p p − |
|
|
|
= |
|
|
− наибольшая среди всех треугольников с заданным |
||||
3 |
|
3 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
периметром 2p. |
• |
|
|
|
|
|
|
4.2 Задачи для самостоятельного решения
1. Найти и изобразить область определения следующих функций:
1) z = ln(− x − y); |
2) |
z = |
x2 − y2 ; |
|
|||
3) z = arcsin |
y |
; |
4) |
u = |
x + y − z |
. |
|
x2 |
4 − x2 − y2 − z2 |
||||||
|
|
|
|
|
2. Выразить площадь S треугольника как функцию длин двух его сторон x и y, если его периметр равен 2p. Найти область определения этой функции.
3. Вычислить пределы:
1) |
lim |
sin( xy ) |
; |
|
|
|
|
2) |
lim |
sin( xy ) |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
xy |
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|||||
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim ( x2 + y2 )tg |
|
1 |
|
; |
4) |
lim |
ln( 1 + 2xy ) |
; |
|
|||||||
x2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→1 |
x2 y |
|
|
|
|
||||||
|
y→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
5) |
lim |
|
; |
|
6) |
lim ( 1 + xy )x |
2 |
+xy . |
|||||||||
x2 + 2 x − xy − |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→2 |
2 y |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y→2 |
|
|
|
|
|
|
|
y→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Показать, что функция |
|
|
f ( x , y ) = |
|
2 x − y |
не имеет предела в точке (0; 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Найти точки разрыва следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) z = |
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
; |
|
2) z = |
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( x − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
3 |
− y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3) |
|
z = |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) u = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
− z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. Найти частные производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1) |
z = |
|
xy |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
z = |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
cos y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3) z = xe |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
5) |
z = ln( |
|
x − |
|
|
y ) ; |
6) |
z = |
arcsin |
|
|
xy |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) u = sin2(3x + 2y − z); |
8) |
u = |
|
x |
z |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9) |
|
u = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
; |
|
|
10) |
u = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zy |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
1) |
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y − 1; |
|||||
fxx + |
fxy |
|
+ f yy |
в точке M(3; 2), если f(x, y) = x |
y + xy – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
′′′ |
|
′′′ |
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
′′′ |
в точке |
M(0; 1), если |
f ( x, y ) = e |
x2 y |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
fxxx , |
fxxy , fxyy , |
|
f yyy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
∂ 4 f |
+ |
∂ |
4 f |
|
в точке M(1; 0), если f(x, |
y) = ln(x − y); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ x4 |
∂ y4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxyz ( 1; 1; 1 ) , если f(x, y, z) = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить приближённо (с точностью до 0,01): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
( 1,02 )3 + ( 1,97 )3 |
; |
2) ( 2,01 )3,03 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Вычислить: |
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1) |
|
|
, если u = |
|
|
|
, где x = e , |
y = lnt, |
|
z = t |
|
– 1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ z |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2) |
|
|
|
и |
|
|
, если z = ln(e + e ), где |
y = |
|
x |
|
+ x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂ x |
|
|
dx |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
∂ z |
2 |
|
|
y |
|
2 |
2 |
|
|
|||||
3) |
|
|
|
|
|
и |
|
|
, если z = u |
lnv, где u |
= |
|
, |
v = x |
|
+ y ; |
|
||
|
|
∂ x |
∂ y |
x |
|
|
|||||||||||||
4) |
du, если u = xy + yz + xz, где x = s + t, y = s − t, z = − s. |
||||||||||||||||||
10. Найти указанные производные функций, заданных неявно: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
dy |
|
|
|
, если x2 + 2xy + y2 − 4x + 2y − 2 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
y=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
dy |
|
|
|
, если x + y = ex − y − 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂ z |
|
∂ z |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
и |
|
|
в точке (1; −2; 2), если z − |
4xz + y = 4; |
|
||||||||||
|
|
∂ x |
∂ y |
|
|
||||||||||||||
4) |
|
|
∂ y |
и |
∂ y |
|
в точке (0; 1; 2), если |
y ln( x + y ) − |
xz |
|
= 0 . |
||||||||
|
|
∂ x |
∂ z |
|
y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Разложить по формуле Маклорена, взяв n = 2, следующие функции:
1)f(x, y) = exsiny; 2) f(x, y) = cos(x–y2).
12.Найти производную функции z = x2 – xy – 2y2 в точке M0(1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 600.
13. Найти производную функции z = ln x2 + y2 в точке M0(1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.
14.Найти производную функции u = xy + yz + zx в точке M0(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке M1(5; 5; 15).
15.Найти градиенты и их модули для указанных функций в точке M0:
1) z = x3 + y3 – 3xy, M0(2; 1); |
2) z = x2 − y2 , |
M0(5; 3); |
3) u = xyz, M0(1; 2; 3); |
4) u = x2 + y2 + z2, |
M0(2; 0; –1). |
16. Каково направление наибольшего изменения значений функции
u = xsinz – ycosz в начале координат? Какая скорость изменения значений функции в этом направлении и в этой точке?
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
16 |
r |
|
17. |
Найти точку, в которой градиент функции |
z = ln x + |
|
равен |
i |
− |
j . |
|||
|
9 |
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
18. Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей P и
нормалей N в указанных точках: |
|
|
|
1) z = xy, M0(1; 1; 1); |
2) |
z = |
x2 + y2 , M0(3; 4; 5); |
3)x3+y3+z3+xyz = 6, M0(1; 2; –1); |
4) |
4 + |
x2 + y2 +z2 = x + y +z , M0(2;3; 6). |
|
209 |
|
ОТВЕТЫ к задачам для самостоятельного решения
Глава 1
1. A1 = {x : x = 2n – 1 n N }; A2 = {x : x = 7n n N }; A3 = ;
A4={1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80; 160}; |
А5 ={− |
3 ; |
3} ; A6={|y|i: y R}. |
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. A = {1; 2; 3; 4}; В = {1 }; C = |
|
|
; D |
= − |
|
+ i |
|
|
; − |
|
− i |
|
. |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. A = {(2n – 1)2, n N}; В = {n(n + 1) , n N}; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={( −1 )n−1 n2 , n N} ; |
|||
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n N |
; |
|||||
( 4n |
− 3 )( 4n |
+ 1 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 2n |
+ 1 |
|
|
|
|
4. а) 2,(3); б) 0,7(6); |
в) 0,(428571). |
||||||
E = ( −1 ) |
|
|
|
|
, n N . |
||||||||||||
|
2n |
−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. а) |
|
2 |
; |
|
б) |
49 |
|
; в) |
|
2113 |
. |
|
6. 22. 7. n(A) = 1, |
n(B) = 0, n(C) = 5. |
|||
3 |
|
45 |
|
990 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
АU B = {–4; –3; 0; 1; 2; 5; 8}; АI B = {1; 2;}; |
А \ B = {–4; –3; 0}; |
|
||||||||||||||||||||||
B \ A = {5; 8}. |
9. АU B = [–3; 3); АI B = (–2; 2]; А \ B = (2; 3); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
B \ A = [–3; –2]. |
10. X1 I X2 = X2 ; |
X1 U X2 = X1 ; |
X1 I X3 |
– множе- |
|||||||||||||||||||||
ство прямоугольных равнобедренных треугольников; |
X2 \ X1 = ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
X3 \ X2 = X3 ; X2 I X3 = . 11. АU B ={−5; − 3; 4} ; АI B ={4} ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
А \ B = {–5}, B \ A = {–3}. 12. а) (0; 1); б) |
|
; 1 |
; в) |
0; |
|
|
U |
|
; 1 |
; |
|||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
13. а) A U B ={1;2;3;4;5;6;12}; |
B IC ={5} ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) |
0; |
|
U{1}. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A U B ) IC ={3; 5} ; |
A I B IC = ; б) A U B ={1; 2; 3; 4; 6;7 ; 8; 21} ; |
||||||||||||||||||||||||
B IC ={3;7} ; ( A U B ) IC ={3;7} ; |
A I B IC = . 14. а) A U B = [0; 5 ); |
||||||||||||||||||||||||
A I B = [1; 3 ]; |
A IC ={0} ; B UC = ( −2; 0 ] U( 1; 5 ); A I B IC = ; |
|
|||||||||||||||||||||||
( A U B ) IC ={0} ; б) A U B = ( −∞, + ∞ ); A I B ={1} ; A IC ={0; 1} ; |
|
||||||||||||||||||||||||
B UC = ( 0, + ∞ ); A I B IC = ; ( A U B ) IC = ( 0; 1 ). 15. а) 3 – 2i ; |
|
||||||||||||||||||||||||
37 – 9i ; 1 + 12i ; − |
33 |
+ |
19 |
i ; б) 2 |
2 ; 5; − 2 |
|
3i; − |
1 |
− |
2 |
|
6 |
|
i . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
50 |
50 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|