Matematika_Zaytsev_ch2
.pdfЭтот же приём удобен и при дифференцировании показательно-степенной функции y = [u( x )]v( x ) .
Так как ln y =v( x )lnu( x ), то |
|
y′ |
′ |
lnu +v |
1 |
′ |
или y |
′ |
′ |
lnu + |
vu′ |
|
u |
v |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y |
= v |
|
u |
u |
|
= v |
|
u |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 9. Найти производную функции y = x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
● Так как ln y = x ln x , то |
y′ |
= ln x + x |
1 |
|
, |
y′ = (ln x + 1 ) x x . ● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. Найдём производные функций y = sin x и y = cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для функции y = sin x имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∆x |
|
|
∆x |
|
∆y |
|
|
|
|
∆x |
sin |
∆x |
|
|
||||||||||
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin |
|
2 |
cos x + |
2 |
|
|
, |
|
= 2cos x |
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|||||||
|
|
∆x |
2 |
∆x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆y |
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
sin ∆x |
|
|
|
∆x |
∆x |
|
|
|
|
|
||||||
y′ = lim |
= 2 lim |
|
|
2 |
|
= |
|
sin |
при∆x →0 =cos x |
||||||||||||||||||
∆x |
cos x + |
|
2 |
lim |
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
π |
|
|
|
то, применяя правило дифференцирования |
||||||||||||||||||
y = cos x = sin |
2 |
− x , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||
сложной функции, находим y′ = cos |
2 |
− x |
|
− x = sin x ( −1 ) = − sin x . |
|||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= −sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. Найдём производные функций y = tgx и y = ctgx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Представляя функцию в виде |
y = tgx = |
sin x |
|
, используя правило нахождения |
|||||||||||||||||||||||
cos x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
производной частного и формулы (17), (18), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
sin x |
′ |
|
(sin x )′ cos x − sin x (cos x)′ |
cos2 x + sin2 x |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
y′ = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
cos2 |
|
||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(tgx )′ = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
Аналогично найдём
109
1 |
|
(ctgx )′ = − sin2 x . |
(20) |
6. Рассмотрим обратные тригонометрические функции. Для отыскания производных этих функций будем использовать правило дифференцирования обратной функции.
Для функции y = arcsin x имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x = sin y , x y/ = cos y = |
|
1 − sin2 y = |
1 − x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Здесь перед корнем взят знак плюс, Так как по определению функции |
|
y = arcsin x |
|||||||||||||||||||||||||||
имеем −π |
≤ y ≤ π , поэтому cos y ≥ 0 . Отсюда находим |
yx/ |
= |
1 |
|
= |
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
x y/ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
||||
|
(arcsin x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как имеется тождество arcsin x + arccos x = π , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
′ |
|
|
π |
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
− arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(22) |
||||||||||
|
(arccos x ) |
2 |
|
= −(arcsin x ) = − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для функции y = arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x = tgy , x y/ = |
|
|
1 |
= 1 + tg2 y = 1 + x2 , |
yx/ |
= |
|
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
cos2 y |
|
xy/ |
|
1 + x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
|||||||
|
|
|
|
( arctg x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из тождества arctgx + arcctgx = π |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
π |
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
− arctg x |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(24) |
|||||||||
|
( arcctg x ) |
2 |
= −( arctg x ) |
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение приведём таблицу полученных правил и формул дифференцирования, которую рекомендуется запомнить.
Основные правила дифференцирования:
1) (C ) |
′ |
|
C − const ; |
|
′ |
′ |
+ v |
′ |
; |
||
= 0 , |
2) ( u + v ) |
= u |
|
||||||||
|
′ |
′ |
|
′ |
; |
′ |
|
′ |
|
|
|
3) ( u v ) |
= u v + uv |
|
4) ( Cu ) |
= Cu ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||
5) |
= |
|
u v − uv |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
v2 |
|
||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
x y/ |
= |
|
|
1 |
|
; |
|
|
||
|
yx/ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6) yx/ = yu/ ux/ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
y / |
= |
yt |
|
||
xt / . |
|||||
8) y = y( t ) , x = x( t ) |
x |
|
x = x( t )
Производные основных элементарных функций:
1) ( xa )′ = axa−1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
2) (a x )′ = a x lna ; |
|
|
|||||||||
|
′ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
3) |
(loga x ) = |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4) (sin x ) = cos x ; |
|
|
|||||
|
x |
lna |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
5) |
(cos x )′ = − sin x ; |
|
|
|
6) (tgx )′ = |
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
||||||||||||||
7) |
(ctgx )′ = − |
|
1 |
|
; |
|
|
|
8) (arcsin x )′ |
= |
1 |
|
; |
||||||
sin2 x |
|
|
|
1 − x2 |
|||||||||||||||
9) |
(arccos x )′ |
|
= − |
|
|
|
1 |
|
; |
10) (arctgx )′ = |
|
|
1 |
; |
|
||||
|
1 − x2 |
|
1 + x2 |
|
|||||||||||||||
11) |
(arcctgx)′ |
= − |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что, пользуясь этой таблицей, можно найти производную любой элементарной функции, т.е. функции, которая получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и применением конечного числа операций вычисления функции от функции.
4. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
4.1 Определение дифференциала
Рассмотрим важное в теории и для приложений понятие дифференциала. Пусть
функция y = f ( x ) дифференцируема, т.е. существует lim |
∆y |
= f ′( x ) . Тогда |
∆x→0 |
∆x |
|
приращение функции имеет вид (см. (5)): |
|
|
∆y = f ′( x ) ∆x +α ∆x , |
|
(25) |
где lim α = 0 .
∆ x→0
В случае f ′( x ) ≠ 0 первое слагаемое f ′( x )∆x , линейное относительно ∆x ,
имеет по отношению к ∆x тот же порядок малости, а второе слагаемое α ∆x – высший порядок малости по сравнению с ∆x , так как
111
lim |
f ′( x )∆x |
= f ′( x ) ≠ 0 , |
lim |
α ∆x |
= |
lim α = 0 . |
|
∆x |
∆x |
||||||
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
∆x→0 |
Поэтому первое слагаемое f ′( x )∆x является главной частью приращения функции. В случае f ′( x ) = 0 главная часть приращения функции равна нулю. Во всех
случаях при малых ∆x приращение функции мало отличается от своей главной части. Эту главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy :
dy = f ′( x ) ∆x . |
(26) |
Равенство |
|
∆y = dy +α ∆x , |
(27) |
непосредственно следующее из соотношений (25) и (26), показывает, что дифференциал функции отличается от её приращения на слагаемое, являющееся бесконечно малой высшего порядка относительно ∆x . Отсюда следует приближённое выражение для приращения функции:
∆y ≈ dy или f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ′( x )∆x . |
(28) |
|||
Абсолютная погрешность при такой замене равна |
|
∆y − dy |
|
и является при |
|
|
∆x → 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x .
Когда вычисление значения функции y = f ( x ) и её производной в некоторой
точке x оказывается более простым, чем вычисление значения функции в другой точке x + ∆x , то можно воспользоваться приближённым вычислением этого значения f ( x + ∆x ) по формуле (28) (если ∆x мало).
Пример 9. Найти приближённое значение функции |
f ( x ) = x3 − 3 x2 + 5 x + 8 |
при x = 3,02 . |
|
● При x = 3 значение функции и её производной |
f ′( x ) = 3 x2 − 6 x + 5 легко |
вычисляются: f ( 3 ) = 23 , f ′( 3 ) = 14 . Положим ∆x = 0 ,02 , тогда x + ∆x = 3 + 0 ,02 = 3,02
и, согласно (28), получим
f ( 3,02 ) ≈ f ( 3 ) + f ′( 3 )∆x = 23 + 14 0 ,02 = 23,28 .
При точном подсчёте получается f ( 3,02 ) = 23,282408 . Абсолютная ошибка
0 ,002408 .●
Замечание. Если формулу (26) применить к функции, равной аргументу (y = x), то получим dy = dx = 1 ∆x = ∆x . Поэтому естественно под дифференциалом ар-
гумента понимать его приращение. В силу этого, формулу (26) можно записать в виде
dy = df ( x ) = f ′( x )dx . |
(29) |
112
Эта формула позволяет считать производную отношением дифференциалов:
f ′( x ) = |
df ( x ) |
или y′ = |
dy |
||
|
|
. |
|||
dx |
|
dx |
Практически дифференциал находят по формуле (29), используя свойства производных и формулы производных простейших элементарных функций. Например,
d ( |
x ) = ( |
x )′ dx = |
|
1 |
dx |
, d (ln x) = (ln x)′ dx = |
1 |
dx и т. д. |
|
|
2 |
x |
|
|
x |
4.2 Свойства дифференциала
Отметим основные свойства дифференциала функции. 1) dC = C′dx = 0 dx = 0 , где С - постоянная;
2)d (u( x )+v( x )) =(u( x )+v( x ))′dx =(u′+v′)dx = u′dx +v′dx = du +dv ;
3)d (u( x ) v( x )) =(u v)′dx =(u′v + uv′)dx = u′dx v + u v′dx = du v + u dv ;
4)d (C u( x )) = (C u( x ))′ dx = Cu′( x )dx = Cdu ;
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
u u |
|
v − uv |
|
|
|
|
v du − u dv |
|
||||||||
|
|
u |
|
|
|
u |
dx v − uv dx |
|
|
||||||||
5) |
d |
|
= |
|
|
dx = |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
v2 |
|
|
|
v2 |
|
v2 |
||||||||
|
v v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) дифференциал сложной функции |
y (u( x )): |
|
′ |
/ / |
/ |
||||||||||||
dy = y dx = yu ux dx |
= yu du . |
Этот результат мы могли сразу получить, если бы переменная u была бы неза-
висимой переменной. Таким образом, форма записи дифференциала функции будет неизменной независимо от того, будет ли переменная u независимой перемен-
ной или функцией другой переменной x. Указанный результат выражает так назы-
ваемое свойство инвариантности (неизменности) формы дифференциала функции.
Y |
|
|
|
|
7) Геометрический |
смысл |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N |
|
дифференциала функции. |
|
||
|
|
T |
Пусть |
точка M на |
графике |
||
|
|
|
∆y |
функции |
y = f ( x ) соответствует |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
значению аргумента x, а точка N – |
|||
|
|
|
K |
|
|||
y=f(x) |
M |
α |
dy |
|
значению |
аргумента |
x + ∆x , |
|
|
∆x |
P |
|
прямая MT–касательная к графи- |
||
|
α |
|
|
X |
ку y = f ( x ) в точке |
M, α – |
|
0 |
x |
|
x+∆x |
угол между касательной и осью |
|||
|
Рисунок 6 |
|
|
OX (рисунок 6). |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
113 |
|
|
|
Приращение функции равно ∆y = NP . Из прямоугольного ∆ MKP получа-
ем KP = tgα ∆x = f ′( x )∆x = dy .
Таким образом, дифференциал dy функции y = f ( x ) в точке x равен приращению ординаты точки касательной к графику этой функции с точкой касания M (x, f ( x )) , соответствующему приращению ∆x аргумента x.
5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
5.1 Производные высших порядков
Производная y′ = f ′( x ) функции y = f ( x ) сама является некоторой функ-
цией аргумента x. Поэтому по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Производная от производной данной функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции и обозначается символом y′′ ,
или y( 2 ) , т.е. y′′ = ( y′)′.
Аналогично, производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной): y′′′ = ( y′′)′ и т.д., производная
n-го порядка (или n-я производная): y( n ) = ( y( n−1 ) )′ .
Следовательно, производная n–го порядка может быть найдена в результате n последовательных дифференцирований функции.
Замечание. Ранее было выведено правило дифференцирования функции, заданной параметрически (см. формулу (13)). Тогда вторая производная yxx// , как
производная по x от первой производной, определится формулой, которая является следствием формулы (13):
yxx// |
= ( yx/ ) |
x/ |
= |
( yx/ |
) t/ |
|
|
/ . |
(30) |
||||
|
|
|
|
xt |
|
Для отыскания третьей производной поступаем аналогично, так как вторая производная снова оказывается функцией параметра t. То же будет верно и для последующих производных.
Пример 10. Найти производную третьего порядка в точке x = 1 функции
y= ln( 2x − 1 ) .
●Имеем y′ = 2x1− 1 ( 2 x − 1 )′ = 2 x2− 1 = 2( 2 x − 1 )−1 ,
y′′ = 2 ( −1 )( 2 x − 1 )−2 ( 2x − 1 )′ = −4( 2 x − 1 )−2 ,
114
|
y |
′′′ |
|
|
−3 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
−3 |
. |
|
|
|||
|
|
= −4 ( −2 )( 2 x − 1 ) |
( 2 x − 1 ) = 16( 2 x − |
1 ) |
|
|
||||||||||||||
Следовательно, y′′′( 1 ) = 16( 2 1 − 1 )−3 = 16 . |
● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 11. Найти производную yxx// |
, если |
x = cos t , |
y = sin t . |
|
|
|
||||||||||||||
● Вначале найдём xt/ = − sin t , |
yt/ |
= cos t , yx/ = |
yt/ |
|
= |
cos t |
= −ctgt . От- |
|||||||||||||
xt/ |
− sin t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(−ctgt ) t/ = |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
сюда, согласно формуле (30), получаем: |
yxx// = |
|
|
sin2 t |
|
= − |
|
● |
||||||||||||
|
− sin t |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− sin t |
|
|
|
sin3 t |
|||||||||
Вторая |
производная имеет простой |
механический |
смысл. |
|
Если |
функция |
||||||||||||||
S = S( t ) |
описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то |
|||||||||||||||||||
первая производная |
S′( t ) есть скорость точки в момент времени t, а вторая про- |
|||||||||||||||||||
изводная |
S′′( t ) = (S′( t ))′ = v′( t ) |
равна скорости изменения скорости, т.е. уско- |
||||||||||||||||||
рению точки в этот момент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2 Дифференциалы высших порядков
Предварительно отметим следующее: dy = f ′( x )dx зависит от двух переменных: x и dx = ∆x , которые между собой независимы.
Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) от функции y = f ( x ) (его обозначают d 2 y ) называется дифференциал от её дифференциа-
ла, рассматриваемого как функция только от аргумента x (т.е. при постоянном dx ). Найдём его выражение
d 2 y = d( dy ) = d ( f ′( x )dx) = ( f ′( x )dx)′ dx = f ′′( x )( dx )2 .
Аналогично вводятся дифференциалы третьего, четвёртого и более высоких порядков. Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от диф-
ференциала ( n − 1 ) - го порядка. Аналогично предыдущей формуле, получим |
|
d n y = d (d n−1 y) = f ( n )( x )( dx )n . |
(31) |
Замечание. Свойством инвариантности формы дифференциал n -го порядка |
|
(при n > 1 ) не обладает. В самом деле, если y = f ( u ) , u = u( x ) , то |
|
d2 y = d( dy ) = d ( f ′( u )du) = d ( f ′( u ))du + f ′( u )d( du ) = f ′′( u )( du )2 + f ′( u )d2u
(здесь du ≠ const для произвольной функции u = u( x ) ).
Пример 12. Вычислить d 3 y для функции y = ln x . |
|
|
|||||
● Последовательно дифференцируя, получим |
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
2 |
|
||
y′ = |
|
= x−1 , y′′ = −x−2 |
, y′′′ = 2 x−3 = |
|
, т. е. d 3 y = y′′′( dx )3 = |
|
( dx )3 .● |
x |
x3 |
x3 |
|||||
|
|
|
115 |
|
|
|
6.ЗАДАЧИ
6.1Задачи с решениями
1. Пользуясь только определением производной, найти f ′( x ) для функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) f ( x ) = 5 x2 − 2 x + 1 ; |
2) f ( x ) = cos 3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
● 1) Используем определение производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
f ( x +∆x )− f ( x ) |
|
|
|
|
[5( x +∆x )2 −2( x +∆x )+1] −[5x2 −2x +1] |
|
||||||||||||||||||||||||||
f ( x ) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
5 x2 + 10 x∆x + 5( ∆x )2 − 2 x − 2∆x + 1 − 5 x2 + 2 x − 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
10 x∆x − 2∆x + 5( ∆x )2 |
= lim ( 10 x − 2 + 5∆x ) = 10 x − 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2) Аналогично, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
cos 3( x + ∆x ) −cos 3x |
|
|
|
|
|
|
α + β |
|
|
α − β |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f ( x ) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cosα −cos β = −2 sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−2 sin( 3 x + |
|
∆x )sin |
|
∆x |
|
sin( 3 x + |
3 |
∆x ) |
|
|
sin |
|
∆x |
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
lim |
2 |
2 |
= −2 lim |
lim |
|
2 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∆x→0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
2 |
|
|
∆x→0 |
|
∆x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= −2 sin 3 x |
|
|
|
= −3 sin 3 x . Здесь учитывалось, что синус – непрерывная функция |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
sin |
3 |
|
∆x |
|
3 |
|
|
∆x при ∆x → 0 . ● |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти односторонние производные |
f ′( 1 − 0 ) , f ′( 1 + 0 ) (пользуясь только |
||||||||||
их определением) для функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 x |
, |
x ≤ 1 |
|
||||
|
|
|
|
f ( x ) = |
|
|
|
+ 3 x , x > 1. |
|||
|
|
|
|
−x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
● Данная функция непрерывна x R (почему?). Имеем |
|||||||||||
f ′( 1 − 0 ) = |
lim |
|
f ( 1 + ∆x ) − f ( 1 ) |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∆x→0−0 |
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
так как 1 + ∆x < 1 при |
∆x → 0 − 0 , то |
f( 1 + ∆x) = 2( 1 + ∆x ) = |
||||||||
= |
lim |
|
2( 1 + ∆x ) − 2 1 |
= |
|
|
lim |
2∆x |
= |
2 , |
|
|
|
∆x |
|
|
|
||||||
|
∆x→0−0 |
|
|
∆x→0−0 |
∆x |
|
|||||
f / ( 1 + 0 ) = lim |
|
f ( 1 + ∆x ) − f ( 1 ) |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
∆x→0+0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
116 |
|
|
|
= так как 1 + ∆x > 1 при ∆x → 0 + 0, то f( 1 + ∆x) = −( 1 + ∆x )2 + 3( 1 + ∆x ) =
= |
|
lim |
−( 1 + ∆x )2 + 3( 1 + ∆x )− 2 1 = |
lim |
|
∆x −( ∆x )2 |
= |
|
lim ( 1 −∆x ) = 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0+0 |
∆x |
|
|
|
∆x→0+0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
Заметим, что |
|
f ′( 1 − 0 ) ≠ f ′( 1 + 0 ) , поэтому f ′( 1 ) не существует. ● |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. Найти производную функции y = 3 1 − x2 |
+ x3 cos x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
● Используя правила дифференцирования суммы и произведения двух функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ций, получаем: |
y / |
= (3 1 − x2 )′ + ( x3 )′ cos x + x3 (cos x)′ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Производная (3 1 − x2 )′ |
|
находится как производная сложной функции, задан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( u ) = 3 u = u |
1 |
|
u = 1 − x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ной цепочкой равенств: |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Так как fx/ |
|
|
fu/ |
ux/ |
1 |
|
|
|
− |
2 |
|
|
(−2 x), то (3 |
1 − x2 ) |
′ |
|
|
|
−2 x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
= |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 3 |
(1 − x2 ) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Производные ( x |
3 |
) |
′ |
= 3 x |
2 |
, |
|
|
|
|
′ |
|
= −sin x – табличные. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos x ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Окончательно, |
y |
′ |
= − |
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
+ 3 x |
2 |
cos x − x |
3 |
sin x . ● |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 3 |
(1 − x2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4. Найти производную функции y = |
|
|
|
101−x |
− (arcsin 2 x )2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 5 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
● Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
/ |
|
|
101−x |
′ |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
= |
|
|
|
|
− |
(arcsin 2 x ) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
cos 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
(101−x )′ cos 5 x − 101−x (cos 5 x)′ |
− 2 arcsin 2 x (arcsin 2 x)′ = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos 5 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
101−x ln10 (1 − x)′ cos 5 x − 101−x (− sin5 x) (5 x)′ |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos2 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−2 arcsin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 x)′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 − (2 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−101−x ln10 cos 5 x + 5 101−x sin5 x |
− |
4 arcsin 2 x |
. ● |
|||
cos2 5 x |
|
|
|
1 − 4 x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
5. Найти y / (−1) , если y = |
|
x |
10 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
2 x + 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
● Вычислим вначале производную в произвольной точке x:
|
x 9 |
|
x ′ |
|
|
|
x |
9 |
|
|
x′(2 x + 1) − x (2 x + 1)′ |
|
|||||||||||
y′ = 10 |
|
|
|
|
|
|
= |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 x + 1)2 |
|||||||||||||
|
2 x + 1 |
2 x + 1 |
|
|
2 x + |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x 9 |
|
1 (2 x + |
1) − x 2 |
|
|
10 x9 |
|
|
||||||||||
|
= 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
(2 x + 1)2 |
|
|
|
(2 x + 1)11 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При x = −1 получим y′( −1 ) = |
10( |
−1 )9 |
|
= 10 . ● |
|
|
|||||||||||||||||
( 2 ( −1 ) + |
|
|
11 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Найти производную функции |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y = 1 |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
● Данная функция является показательно-степенной (и показатель, и основание
– переменные величины). Логарифмируем эту функцию:
|
|
|
1 x |
|
|
|
1 |
||
ln y = ln |
1 |
+ |
|
|
= x ln |
1 |
+ |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
Находим производные левой и правой частей:
(ln y)′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
y′ = x′ ln |
1 + |
|
|
|
|
+ x ln |
1 + |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 ′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|||||||||
= ln 1 |
+ |
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
= ln |
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
ln 1 + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 1 |
+ |
|
|
ln |
1 |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
. ● |
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
7. Уравнение x3 + ln y = x2e y |
определяет y как неявную функцию от x. Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ при x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
● Дифференцируя по x левую и правую части равенства и учитывая, что y = y( x ) , имеем:
118