Matematika_Zaytsev_ch2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова

В. П. Зайцев, А. Э. Гейнеман

М А Т Е М А Т И К А

Часть 2

Введение Функции одного аргумента

Предел и непрерывность функции Дифференцирование функции одного аргумента Приложения производных

Функции нескольких переменных

Учебное пособие

Барнаул 2004

1.5Предел числовой последовательности……………………………..…65

1.6Односторонние пределы функции ……………………………………68

2.Теоремы о пределах

3.Понятие непрерывности функции

3.1Определения непрерывности……………………………………………77

3.2Точки разрыва …………………………………………………………..79

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

1.Понятие производной

1.1Задача о скорости и задача о касательной………………………………95

1.2Определение производной ………………………………………………97

1.3Непрерывность и дифференцируемость функции ……………………100

2.Правила дифференцирования

2.1Производная постоянной, суммы, произведения и частного…………100

2.2Производная сложной функции ………………………………………..102

2.3Производная обратной функции …………………………………….....103

2.4Производная функции, заданной в параметрической форме…………104

2.5Производная функции, заданной неявно ………………………………105

3.Производные основных элементарных функций ……………………..106

4.Понятие дифференциала

4.1Определение дифференциала …………………………………………...111

4.2Свойства дифференциала ……………………………………………….113

5.Производные и дифференциалы высших порядков

5.1Производные высших порядков ………………………………………..114

5.2Дифференциалы высших порядков …………………………………….115

6.Задачи

6.1Задачи с решениями………………………………………………………116

6.2Задачи для самостоятельного решения………………………………….120

Глава 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1.Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1Теоремы о среднем……………………………………………………….123

1.2Правило Лопиталя………………………………………………………...126

1.3Формула Тейлора…………………………………………………………128

2.Исследование функций и построение графиков

2.1Признаки возрастания и убывания функции……………………………136

4

2.2Экстремум функции………………………………………………………138

2.3Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба…………………….142

2.4Асимптоты графика функции……………………………………………144

2.5План исследования функции и построение её графика………………..147

2.6Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции………..151

3.Задачи

3.1Задачи с решениями………………………………………………………154

3.2Задачи для самостоятельного решения………………………………….164

Глава 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Понятие функции двух и более переменных

1.1Определения……………………………………………………………….167

1.2Понятие предела и непрерывности ………………………………………170

2.Частные производные

2.1Понятие частных производных и их вычисление……………………….173

2.2Дифференцируемость функции…………………………………………..174

2.3Частные производные высших порядков ……………………………….176

2.4Дифференциал функции…………………………………………………..177

2.5Дифференцирование сложных функций…………………………………179

2.6Дифференцирование неявной функции………………………………….182

3.Приложения частных производных

3.1Формула Тейлора………………………………………………………….183

3.2Производная по направлению. Градиент………………………………..186

3.3Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………189

3.4.Экстремум функции нескольких переменных…………………………..192

3.5Наименьшее и наибольшее значения функции…………………………195

3.6Метод наименьших квадратов …………………………………………..197

4.Задачи

4.1Задачи с решениями………………………………………………………198

4.2Задачи для самостоятельного решения………………………………….207

5

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• – начало и окончание решения примеров и задач. x X – элемент x принадлежит множеству X.

x X – элемент x не принадлежит множеству X.

X Y – множество X есть подмножество множества Y. X = – множество X пусто.

X UY , X IY , X \ Y – объединение, пересечение, разность множеств X и Y. X ={x : P( x )} – множество X из элементов x, обладающих свойством P(x).

N, Z, Q, R, C – множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел соответственно.

A– отрицание высказывания A.

x: A(x) – существует такое x, что для него верно высказывание A(x).

! x: A(x) – существует единственное x, такое, что для него верно высказывание A(x).

U( x0 ),Uε ( x0 ) – произвольная окрестность и ε – окрестность точки x0.

U0 ( x0 ), Uε0 ( x0 ) – проколотая окрестность и проколотая ε – окрестность точки x0.

U−0 ( x0 ), U+0 ( x0 ) – проколотые левая и правая полуокрестности точки x0.

lim f ( x ) – предел функции f(x) в точке a ( при x → a).

x→a

f(a + 0) и f(a – 0) – правосторонний и левосторонний пределы функции.

∆x и ∆y = ∆ f ( x ) – приращение аргумента x и функции y = f(x).

α( x )=O( β( x )) – функции α(x) и β(х) одного порядка при x → a. x→a

6

α( x ) = o( β( x )) – функция α(x) более высокого порядка малости по сравнению

dy, df ( x ) – дифференциал функции y = f(x) в точке x.

7

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1Основные понятия и определения

Вматематике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. Одним из таких является понятие множества.

Под множеством мы будем понимать любую совокупность объектов, называемых элементами множества.

Множества обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита:

A, B, ... , X, Y, Z. Элементы множества, как правило, обозначают малыми буквами: a, b, ... , x, y, z. Запись x X означает, что x есть элемент множества X (принадлежит множеству X). Символ является символом принадлежности. Если x не является элементом множества X (не принадлежит множеству X), то пишут x X. Если множеству X принадлежат элементы x1, x2, x3, то вместо записи x1 X, x2 X,

x3 X3 пишут x1, x2, x3 X.

К понятию множества мы приходим, производя мысленное объединение некоторых объектов в единое целое. При этом чаще всего эти объекты объединяются по некоторому присущему им всем признаку, свойству.

Приведём примеры множеств:

1)X – множество дней в году;

2)Z – множеств натуральных чисел;

3)A – множество всех букв русского алфавита.

Для первого из приведённых множеств «18 мая», «19 октября» – элементы рассматриваемого множества, но «вторник», «праздник» не являются элементами этого множества.

Во втором примере числа 1, 3, 5 принадлежат множеству натуральных чисел, а числа –1, 0, 3/5 не входят в это множество.

Втретьем примере буква «я» принадлежит множеству букв русского алфавита,

абуква «ξ»не принадлежит этому множеству.

Множества X и Y называются равными (X = Y), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, множество решений уравнения x2 – 5x + 6 = 0 содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны.

Существуют два основных способа задания (описания) множеств.

1) Множество X определяется непосредственным перечислением всех своих элементов x1 , x2 , ... , xn и записывается в виде: X = { x1 , x2 , ... , xn }.

Например, X – множество букв в слове «книга» можно записать так:

X={а, г, и, к, н}. Этот способ пригоден, если число элементов конечно и невелико.

8

2) Множество X определяется с помощью свойства, характеризующего его произвольный элемент x, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и только они. Для обозначения множества элементов, обладающих некоторым свойством S(x), часто используют запись:

X = { x | S(x) } или X = { x : S(x) }.

Например, если X – множество студентов АлтГТУ, т.е. X = { x | x – студент АлтГТУ }, то характеристическим свойством S(x) для произвольного элемента x является принадлежность к студентам АлтГТУ.

Будем считать, что всякое свойство определяет множество. С этой точки зрения можно, например, говорить о множестве всех действительных чисел R , удовлетворяющих уравнению x2 + 1 = 0. Вместе с тем ясно, что в этом множестве нет ни одного элемента из R, который бы удовлетворял указанному свойству.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Например, { x R : x2 + 1 = 0 } = .

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, в противном случае множество является бесконечным.

Говорят, что множество X является подмножеством множества Y (X содержится в Y), если каждый элемент множества X является элементом множе-

ства Y. В этом случае используется символическая запись: X Y.

Например, если Y – множество студентов группы М–81, а X – множество студентов этой группы, которые учатся хорошо, то X Y. Очевидно, что для любого множества X можно считать: X X , X .

Для задания подмножеств данного множества X могут служить свойства, присущие некоторым элементам множества X. Например, свойство чётности натурального числа порождает подмножество Y чётных чисел в множестве N натураль-

ных чисел: Y = {n N: n = 2k, k N } N.

1.2Множество действительных чисел

Вматематике чаще всего приходится иметь дело с числовыми множествами,

элементами которых являются числа.

Представления о числах складывались исторически постепенно под влиянием требований практики. С давних пор числа употреблялись при счёте и при измерении различных величин.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, ... , n, ...}.

Натуральные числа используются для счёта предметов и для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов. На множестве натуральных чисел всегда выполнимы две основные операции: сложение и умножение. Это означает, что для любых натуральных чисел m и n их сумма m + n и

9

произведение m n являются непременно натуральными числами. Что касается вычитания и деления, то эти два действия на множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, например, разность 3 – 5, частное 7 : 6 нельзя выразить натуральным числом.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел расширили путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате приходим к множеству целых чисел:

Z = {... , –n, ... , –2, –1, 0, 1, 2, ... , n, ...}.

Но деление осталось по–прежнему, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, расширили и множество всех целых чисел путем присоеди-

нения к нему всех обыкновенных дробей, т.е. чисел вида mn , где m Z, n N.

Очевидно, что любое рациональное число может быть представлено в виде дроби mn многими способами. Например,

−2 = −24 = −36 = K , 103 = 206 = 309 = K

Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел это дробь со знаменателем 1.

Верно утверждение, которое следует из алгоритма деления: любое рациональ-

ное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби и, в свою очередь, любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число. Поясним на примерах.

Пример 1. Обратить обыкновенную дробь 5512 в десятичную дробь.

• Представление обыкновенной дроби в виде десятичной получается в результате применения алгоритма деления:

100

55

450

440

10

Получив два раза остаток 10, мы можем не вести вычисление дальше. Поэтому,

10