Matematika_Zaytsev_ch2
.pdfвалы (см. рисунок 6). |
Нетрудно исследовать знак |
||
|
|||
|
f ′( x ), |
вычислив |
значение |
|
f ′( x ) в «удобных» контрольных |
||
знак f /(x) «+»−1 «−» 0 «−» 1 «+» X |
точках внутри каждого интервала. |
||
Итак, функция возрастает на |
|||
Рисунок 6 |
интервалах |
( −∞,−1), ( 1,+∞)и |
убывает на интервалах ( −1;0 ) и (0;1). •
2.2 Экстремум функции
Дадим вначале определение. Точка x0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x), если существует такая окрестность U ( x0 )
точки x0, что |
для любой точки x |
из этой окрестности выполнено условие |
f ( x0 ) ≥ f ( x ) |
( f ( x0 ) ≤ f ( x )) . |
Слово «локальный» подчеркивает, что |
f ( x0 ) является наибольшим (наименьшим) среди значений функции лишь в точ-
ках x, близких к x0. Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, причём может оказаться, что иной локальный максимум окажется меньше какого–то локального минимума.
Y |
|
|
|
|
На рисунке 7 изображён гра- |
|
|
|
|
|
фик функции y = f(x), у которой x1 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
и x3 – точки локального максиму- |
|
|
|
|
|
|
ма, x2 и x4 – точки локального ми- |
|
|
|
|
|
|
нимума. Минимум функции в точ- |
|
|
|
|
|
|
ке x4 больше её максимума в точке |
|
|
|
|
|
|
x1. Для обозначения локального |
|
0 |
x1 |
x2 |
x3 x4 |
X |
максимума или минимума исполь- |
|
зуют объединяющий их термин – |
||||||
|
|
Рисунок 7 |
|
|||
|
|
|
локальный экстремум. В дальней- |
шем слово «локальный» будем опускать. Перейдём к вопросу о нахождении экстремумов функции.
Теорема 8 (необходимый признак существования экстремума).
Если функция f(x) имеет в точке x0 экстремум и в этой точке существует производная, то эта производная обращается в нуль, т.е. f ′( x0 ) = 0.
Доказательство. Пусть для определённости x0 – точка максимума. Тогда для всех малых по модулю ∆x справедливо неравенство f ( x0 )≥ f ( x0 +∆x ) или,
что то же, ∆ f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ≤ 0.
Тогда |
∆ f |
≤ 0 при ∆x > 0 |
и |
∆ f |
≥ 0 при ∆x < 0. Поэтому |
|
∆x |
∆x |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
138 |
f ′( x0 |
+ 0 ) = |
lim |
∆ f |
≤ 0 , |
f ′( x0 |
− 0 ) = lim |
∆ f |
≥ 0. Так как f ′( x0 ) |
|
∆x→0+0 |
∆x |
|
|
∆x→0−0 |
∆x |
|
|
существует, то |
f ′( x0 + 0 ) = f ′( x0 − 0 ), отсюда f ′( x0 ) = 0 , что и требовалось. |
Геометрически это означает, что касательная к графику функции, проведённая в точке экстремума (если она существует), параллельна оси OX (см. рисунок 7).
Аналогичное доказательство для случая минимума советуем читателю провести самостоятельно.
Замечание. Теорема, обратная рассмотренной, неверна: необходимый признак экстремума не является достаточным. На-
Y |
|
|
пример, |
для функции |
f ( x ) = x3 её про- |
|
|
|
изводная |
f ′( x ) = 3 x2 |
обращается в нуль |
|
|
|
при x = 0, однако, точка x = 0 не является |
||
|
|
|
точкой экстремума (почему?). |
||
|
|
|
С другой стороны, точки, в которых |
||
0 |
1 |
X |
производная не существует, в этой теореме |
||
|
Рисунок 8 |
|
не рассматриваются. В таких точках воз- |
||
|
|
|
можен экстремум. |
|
Например, на рисунке 7 в точке x3 функция имеет максимум, хотя её производная в этой точке не существует. Так функция y = x в точке x0 = 0 имеет минимум,
но не имеет производной при x0 = 0.
Разумеется, не всякая точка, в которой производная не существует, является точкой экстремума. Так, для функции f ( x ) = 3 x − 1 + 1 производная в точке x=1 не существует, а экстремума в этой точке нет (рисунок 8).
Итак, точками возможного экстремума (точками, подозрительными на экстремум) являются критические точки 1-го рода. Рассмотрим достаточные усло-
вия того, что критическая точка 1-го рода является точкой экстремума. Теорема 9 (1-й достаточный признак существования экстремума).
Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности Uε ( x0 ) точки x0
и дифференцируема в каждой её точке, за исключением, быть может, точки x0. Если при переходе через точку x0 от меньших значений аргумента к большим («слева направо») производная меняет знак c «+» на «−», то x0 −точка максимума, если с «−» на «+», то x0 − точка минимума.
Доказательство. |
Пусть |
f ′( x ) при переходе через точку x0 меняет знак c «+» |
||||||
на «−», т.е. |
f ′( x ) > 0 при x0 − ε |
< x < x0 и f ′( x ) < 0 при x0 < x < x0 + ε. То- |
||||||
гда |
по |
формуле |
Лагранжа |
для |
любой |
точки x Uε ( x0 ) имеем |
||
f ( x ) − f ( x0 ) = f ′( c )( x − x0 ), где с лежит между x и x0. |
|
|||||||
Если x ( x0 , x0 + ε ) , |
то f ′( c ) < 0 , x – x0 > 0, поэтому |
f ( x ) − f ( x0 ) < 0. |
||||||
Если |
x ( x0 −ε , x0 ), то |
f ′( c ) > 0, |
x − x0 < 0, |
поэтому |
f ( x ) − f ( x0 ) < 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
139 |
|
|
Итак, x Uε ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) < 0 , |
а |
это означает, что точка x0 − точка |
максимума. |
f ′( x )c «−» на «+» рекомендуем чита- |
|
Доказательство случая перемены знака |
||
телю провести самостоятельно. |
|
что если производная f ′( x ) не ме- |
Из приведённого доказательства следует, |
няет знака при переходе через точку x0, то в этой точке экстремума нет (так как не будет сохраняться знак разности f ( x ) − f ( x0 ) в окрестности этой точки).
Заметим, что если функция исследована на возрастание и убывание, то точки экстремума выделяются автоматически.
Пример 16. Исследовать на экстремум функцию f ( x ) = 2 x + 3 3 x2 .
• Функция определена и непрерывна при всех x. Производная
|
′ |
|
|
2 |
|
−1 |
3 |
|
1 + 3 |
x |
не существует в точке x1 = 0 и обращается в |
f |
( x ) = 2 |
+ 3 3 x |
|
= 2 3 x |
|
||||||
|
|
|
|
нуль, если 1 + 3 x = 0 , т.е. при x2 = − 1. Отметим эти точки на числовой оси и определим знак f ′( x ) на полученных интервалах (рисунок 9).
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что |
|
|
|
|
|
lim f ′( x ) = ∞ (касательная |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
знак f /(x) «+» −1 |
«−» |
0 «+» X |
к графику функции в его |
||
Рисунок 9 |
|
|
точке О(0; 0) вертикальна). |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Итак, точка x2 = − 1 − |
точка максимума, максимум |
f(−1) = 1; точка |
x1 = 0 − точка минимума, мини- |
|||
мум f(0) = 0. |
|
|
|
|
На рисунке 9 показаны также интервалы возрастания и убывания функции.
Рассмотрим достаточные условия экстремума, выраженные через производные высших порядков.
Теорема 10 (2-й достаточный признак существования экстремума).
Пусть в окрестности точки x0 функция f(x) непрерывно дифференцируема
(n+1) раз. Пусть |
f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = ... = f ( n ) ( x0 ) = 0 , а |
f ( n+1 ) ( x0 ) ≠ 0. То- |
|||
гда, если (n+1) − |
нечётное число, то экстремума при x = x0 |
нет; если (n+1) − |
|||
чётное число, то экстремум |
при x = |
|
x0 есть, причём максимум, если |
||
f ( n+1 ) ( x ) < 0 , и минимум, если |
f ( n+1 ) ( x |
0 |
) > 0. |
|
|
0 |
|
|
|
|
Доказательство. Запишем формулу Тейлора n - го порядка в окрестности точки x0, учитывая, что первые n производных при x = x0 равны нулю:
140
f ( x ) = f ( x0 ) + |
f ( n+1 ) ( c ) |
( x − x0 )n+1 . |
||
|
||||
|
|
( n + 1 )! |
|
|
Так как функция f ( n+1 ) ( x ) |
непрерывна в точке x0, |
то существует некоторая |
||
окрестность этой точки, в каждой точке которой знак |
f ( n+1 ) ( x ) совпадает со |
|||
знаком f ( n+1 ) ( x ), т.е. f ( n+1 ) |
( x ) сохраняет знак. Пусть (n+1) − нечётное чис- |
|||
0 |
|
|
|
|
ло, тогда (x− x0)n+1 не сохраняет знак в окрестности точки x0 (при x < x0 он отри-
цателен, |
а |
|
|
при |
x |
> |
x0 |
он |
положителен), |
|
а, |
значит, |
и |
||||||
|
f ( n+1 ) ( c ) |
( x − x )n+1 = f ( x ) − |
f ( x |
) |
не сохраняет знак. |
Это означает, что в |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
( n + 1 )! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точке x = x0 |
нет экстремума. |
|
|
|
|
|
)n+1 > 0 x |
|
|
|
|
||||||||
|
Если (n+1) |
− |
чётное |
число, |
то |
( x − x |
и |
знак |
разности |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) − f ( x |
0 |
) |
совпадает со знаком f ( n+1 )( c ), |
а, значит, |
постоянный. Это оз- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начает, что при x = x0 |
экстремум есть. Кроме того, если f |
( n+1 ) ( x ) > 0, |
то и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
f ( x ) − f ( x |
0 |
) > 0 |
(x0 |
− |
точка |
минимума); если же |
f ( n+1 ) ( x |
) < 0, |
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
f ( x ) − f ( x0 |
) < 0 |
(x0 −точка максимума), что и требовалось доказать. |
|
|
Частный случай теоремы (n = 1). Если f(x) – дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция в некоторой окрестности точки x0 |
и если f ′( x0 ) = 0 , а |
f ′′( x0 ) ≠ 0, то x0 является точкой экстремума. При |
f ′′( x0 ) < 0 точка x0 − |
точка максимума, при f ′′( x0 ) > 0 точка x0 − точка минимума.
Пример 17. Исследовать на экстремум функцию f ( x )
= x4 − 2 x3 − 3x2
4 3 2
спомощью 2-го достаточного признака.
•Вычислим f ′( x ) и найдём критические точки 1-го рода:
f ′( x ) = x3 − 2 x2 − 3x, x3 − 2 x2 − 3x = 0, x( x2 − 2 x − 3 ) = 0 .
Полученное уравнение даёт три корня (три критические точки):
x1 = −1, x2 = 0 , x3 = 3. Вычислим f ′′( x ) = ( x3 − 2 x2 − 3x )′ = 3x2 − 4 x
Определим знак f ′′( x ) в каждой критической точке:
f ′′( −1 ) = 4 > 0, f ′′( 0 ) = −3 < 0, f ′′( 3 ) = 12 > 0. Следовательно, x1 = −
+ 5
−3.
1 −
точка минимума, f ( −1 ) = |
53 |
|
− значение минимума; x2 = 0 − точка максимума, |
||||
12 |
|
||||||
|
|
|
|
25 |
|
||
f(0) = 5 − значение максимума; |
x3 = 3 − точка минимума, |
f ( 3 ) = − |
− значе- |
||||
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
141 |
|
|
|
ние минимума. •
2.3 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Y
y=f(x)
f(x0)
График дифференцируемой функции y = f ( x ) называется выпуклым (выпук-
лым вверх) на интервале ( a,b ) , если
график на этом промежутке расположен ниже касательной, проведённой к графи-
ку этой |
функции |
в |
любой точке |
x ( a,b ) . |
Если |
же |
на интервале |
( a,b ) график функции |
y = f ( x ) рас- |
0 a |
x0 |
b |
X |
полагается выше любой касательной, |
|
Рисунок 10 |
|
проведённой к графику этой функции, то |
|
|
|
|
|
его называют вогнутым (выпуклым вниз). |
На рисунке 10 график функции |
y = f ( x ) является вогнутым на интервале |
|||
( a, x0 ) и выпуклым на интервале ( x0 ,b ) . |
||||
Точка |
( x0 , f ( x0 )) |
графика функции |
y = f ( x ) называется точкой перегиба, |
если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика.
Теорема 11 (необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости).
Для функции f ( x ) , дважды непрерывно дифференцируемой на ( a,b ) , верно
утверждение: график функции |
f ( x ) выпуклый (вогнутый) |
на |
( a,b ) тогда и |
||||||||||||
только тогда, когда f ′′( x ) ≤ 0 |
( f ′′( x ) ≥0) |
x ( a,b ) . |
|
|
|||||||||||
Доказательство. Возьмём x0 ( a ,b ) , |
запишем формулу Тейлора для f ( x ) |
||||||||||||||
|
|
f ′( x0 |
) |
|
|
|
|
|
f ′′( c ) |
|
|
2 |
|||
при n = 1 : |
f ( x ) = f ( x ) + |
|
|
|
( x − x |
) + |
|
|
|
|
( x − x |
) . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
1! |
|
|
0 |
|
|
2! |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение касательной к графику функции |
f ( x ) при x = x0 : |
||||||||||||||
|
y = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) . |
|
|
|
|||||||||||
Из этих двух равенств получаем: |
f ( x ) − y = |
|
f ′′( c ) |
( x − x )2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
f ( x ) − y |
|
|
|
|
|
|
|
f ′′( c ), поэтому |
||||
Отсюда видно, что знак разности |
совпадает со знаком |
||||||||||||||
f ( x ) ≤ y f ′′( x ) ≤ 0 , f ( x ) ≥ y f ′′( x ) ≥ 0 , |
x ( a,b ) , |
а это и требовалось доказать.
Теорема 12 (необходимый признак существования точки перегиба).
Пусть точка ( x0 , f ( x0 )) – точка перегиба графика дважды непрерывно
142
дифференцируемой функции f ( x ) , тогда f ′′( x0 ) = 0 .
143
Доказательство. |
Допустим, |
например, |
что |
при x < x0 |
график вогнут, т.е. |
||
f ′′( x ) ≥ 0 , а при x > x0 – выпуклый, т.е. |
f ′′( x ) ≤ 0 . Тогда, так как |
f ′′( x ) по |
|||||
условию непрерывная функция, |
из условия |
f ′′( x0 − 0 ) = f ′′( x0 + 0 ) = f ′′( x0 ) |
|||||
следует, что f ′′( x0 ) = 0 , что и требовалось доказать. |
|
|
|||||
Y |
|
|
Замечание. График функции может иметь |
||||
f(x0) |
|
|
точку перегиба и при x = x0 |
таком, что |
|||
|
y = f(x) |
f ′′( x0 ) не существует (рисунок 11). |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
Поэтому |
возможными |
точками |
перегиба |
|
|
|
|
(«подозрительными на перегиб») |
являются |
|||
0 |
x0 |
X |
точки, где вторая производная или равна нулю, |
||||
|
Рисунок 11 |
|
или не существует. Такие точки называют кри- |
||||
|
|
|
тическими точками 2-го рода. Заметим, что не |
||||
|
|
|
всякая такая точка является точкой перегиба. |
Например, для функций y = x3 и y = x4 вторые производные |
y′′ = 6 x |
и |
||
y′′ = 12 x2 при |
x = 0 обращаются в нуль. |
При этом точка (0; 0) для графика |
||
функции y = x3 |
является точкой перегиба, |
а для графика функции |
y = x4 |
не |
является (советуем показать это, построив графики этих функций).
Выясним, в каком случае критическая точка 2-го рода будет точкой перегиба.
Теорема 13 (достаточный признак существования точки перегиба).
Пусть функция f ( x ) определена в окрестности критической точки 2-го рода
x = x0 |
и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой окрест- |
||||
ности |
точки |
x0 ). Если |
f ′′( x ) |
меняет знак при переходе через x0 , то |
|
( x0 , f ( x0 )) |
– точка перегиба. |
|
|
||
Доказательство. Если |
f ′′( x ) при переходе через |
x = x0 сменила знак, то это |
|||
означает, что с одной стороны от x0 |
график функции |
f ( x ) выпуклый, а с другой |
|||
вогнутый, т.е. при x = x0 |
произошёл перегиб графика. |
|
Отсюда вытекает следующее правило отыскания интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба графика функции y = f ( x ):
1)находим f ′′( x ) ;
2)находим точки, в которых f ′′( x ) равна нулю или не существует (критические точки 2-го рода);
3)определяем знак f ′′( x ) в каждом из промежутков, на которые область оп-
ределения функции разбивается найденными точками; 4) применяем достаточные признаки выпуклости и вогнутости, существования
точек перегиба, находим их координаты.
143
Пример 18. Исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба
графика функции f ( x ) = 2− | x5 − 1 | . |
|
|
● Используя определение модуля, данную функцию можно записать в виде: |
||
1 + x5 |
, x ≤ 1 |
|
f ( x ) = |
− x5 |
. |
3 |
, x > 1 |
|
|
|
|
Заметим, что функция непрерывна x R . Вычислим f ′( x ) = 5 x4 |
, x ≤ 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−5 x4 |
, x > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная f ′( 1 ) |
не существует, так как f ′( 1 − 0 ) = 5 ≠ f ′( 1 + 0 ) = −5 , |
|||||||
поэтому f ′′( 1 ) также не существует. |
|
|
|
|
|
|
||
При x ≠ 1 имеем |
f ′′( x ) = 20 x3 |
, x ≤ 1 . |
|
|
||||
|
|
−20 x3 |
|
, x > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, критические точки 2-го рода: |
|||
|
|
|
|
|
x1 = 0 (так как |
f ′′( 0 ) = 0 ) и |
||
|
|
|
|
|
x2 = 1 (так как |
f ′′( 1 )не существу- |
||
Знак f //(x) «−» 0 «+» |
1 «−» |
X |
|
ет). Отметим эти точки на числовой |
||||
|
оси (рисунок 12). В каждом из полу- |
|||||||
Рисунок 12 |
|
|
ченных интервалов определим |
|||||
|
|
знак f ′′ . Например, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
f |
′′ |
|
|
f |
′′ |
|
|
|
(−1)=−20<0 |
( x)<0 x (−∞; 0); |
|
||||||
f |
′′ |
|
|
|
′′ |
>0 x ( 0;1 ) ; |
|
|
( 0,5 ) = 2,5 > 0 |
f ( x ) |
|
||||||
f ′′( 2 ) = −160 f ′′( x ) < 0 |
x ( 1;+∞ ) . |
|
Согласно теоремам 11 и 13 делаем вывод: на интервале ( −∞; 0 ) график выпуклый, на ( 0; 1 ) – вогнутый, на ( 1; +∞ ) – выпуклый. Для наглядности на участках выпуклости и вогнутости изображены соответствующие дуги. Точки
A( 0; 1 ) и B( 1; 2 ) – точки перегиба. Заметим, что точка В – угловая точка графика. ●
2.4 Асимптоты графика функции
При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при x → ±∞ или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют
асимптотами. Дадим строгое определение. |
|
Прямая L : Ax + By + C = 0 называется |
асимптотой графика функции |
y = f ( x ), если расстояние d от точки M (x, |
f ( x )) графика до этой прямой |
L (измеряемое по перпендикуляру к L ) стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.
144
Итак, если у графика функции имеется асимптота, то график вдали от начала координат будет «похож» на прямую линию.
Обычно, отдельно рассматривают вертикальные асимптоты (случай B = 0 , тогда L : Ax + C = 0 или x = a – вертикальная прямая) и наклонные асимптоты (случай B ≠ 0 , тогда можно записать L : y = kx + b – наклонная прямая). Частный случай k = 0 будет соответствовать горизонтальной асимптоте.
Теорема 14 (необходимый и достаточный признак существования вертикальной асимптоты).
Прямая L : x = a является вертикальной асимптотой графика функции тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из соотношений:
lim f ( x ) = ±∞ , |
lim f ( x ) = ±∞ . |
x→a+0 |
x→a−0 |
Y
d M(x, f(x))
y = f(x)
x=a
0 |
a |
X |
Рисунок 13
Доказательство. Любое из четырёх указанных соотношений означает, что если x → a каким–либо
способом, то f ( x ) → ∞ , т.е. расстояние от точки
M (x, f ( x )) графика функции до начала координат неограниченно возрастает. Условие x → a означает, что расстояние d = x − a между точкой M и прямой L : x = a стремится к нулю. Всё это говорит
о том, что x = a – вертикальная асимптота.
На рисунке 13 показан случай, когда
lim f ( x ) = +∞ .
x→a+0
Замечание. Теорема 14 показывает, что наличие вертикальных асимптот у графика функции y = f ( x ) тесно связано с наличием точек разрыва 2-го рода у
функции f ( x ) .
Пример 19. Найти вертикальные асимптоты графика функции |
|
|||||||
f ( x ) = |
x3 |
|
. |
|
|
|
||
2( x + 1 )2 |
|
|
|
|||||
● Данная функция имеет единственную точку |
разрыва x1 = −1 (значение |
|||||||
f ( −1 ) не определено). Так как lim |
|
x3 |
|
−1 |
|
x = −1 |
||
|
|
= |
|
|
= −∞ , то прямая |
|||
|
|
|
||||||
x→−1 2( x + 1 )2 |
|
+0 |
|
|
– единственная вертикальная асимптота. ●
Пример 20. Найти вертикальные асимптоты графика функции
f ( x ) = x . 1 − x2
145
● Данная функция определена и непрерывна на интервале ( −1; 1 ) , т.е. не име-
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ет точек разрыва. Но lim |
f ( x ) = |
|
|
= −∞ , |
lim |
f ( x ) = |
|
|
= +∞ , |
|
+0 |
+0 |
|||||||||
x→−1+0 |
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
поэтому прямая x = −1 является правосторонней вертикальной асимптотой (точки графика расположены только справа от этой асимптоты), а прямая x = 1 является левосторонней вертикальной асимптотой (точки графика расположены только слева от этой асимптоты). Отметим, что в примере 19 прямая x = −1 – двусторонняя вертикальная асимптота. ●
Займёмся нахождением наклонных асимптот, уравнения которых можно записать в виде y = kx + b .
Теорема 15 (необходимый и достаточный признак существования наклонной
асимптоты). |
|
|
|
|
|
Прямая L : y = kx + b |
является наклонной асимптотой графика функции |
||||
y = f ( x ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы: |
|
||||
k = lim |
|
f ( x ) |
, |
b = lim ( f ( x ) − kx). |
(14) |
|
|
||||
x→∞ |
|
x |
x→∞ |
|
Y
0
|
Доказательство проведём только для случая |
||||
y= f(x) L |
x → +∞ (случай |
правосторонней наклонной |
|||
M(x, f(x)) |
асимптоты). |
|
M |
|
|
Расстояние от |
точки |
графика функции |
|||
y= kx+b |
y = f ( x ) до асимптоты |
L |
изображается отрез- |
||
ком MN (рисунок 14). Так как |
|||||
N |
PNMP = ( L,OX ) = α , то MN = MP cosα ,
αгде точка P( x; kx +b ) L . Имеем
x |
X |
MP = |
|
f ( x ) − ( kx + b ) |
|
и cosα ≠ 0 . |
|
|
|||||
Рисунок 14 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Итак, L : y = kx + b – правосторонняя наклонная асимптота ( MN → 0
при x → +∞ ) ( MP →0 при x → +∞ ) |
|
|
( f ( x ) − kx ) . |
|
|||||||||||||
|
lim |
|
f ( x ) − kx −b |
|
= 0 b = |
lim |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
x→+∞ |
|
f ( x ) −kx |
|
|
|
|
f ( x ) |
|
x→+∞ |
|
f ( x ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как lim |
|
= lim |
|
|
|
= |
lim |
|
|
−k = |
0 , то k = lim |
|
|
. |
|||
|
|
|
x |
x |
x |
||||||||||||
x→+∞ x |
x→+∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
x→+∞ |
|
Если будут существовать соответствующие пределы при x → −∞ , то прямая L : y = kx + b будет левосторонней наклонной асимптотой. Если рассматриваемые пределы как при x → +∞ , так и при x → −∞ дадут одинаковые результаты
146