;

;

.

Задача  18.

Найти неопределённые интегралы:

а) ; б);

в) г)д);

е); ж); з)

Решение:

Используем свойства и таблицу интегралов:

а)=

=

.

б)

в) Сделаем замену ,

=

г) Интегрируем по частям по формуле: .

.

д)

е)

ж) Сделаем замену Получим

з) Сделаем замену

Получим

Последний интеграл есть интеграл от рациональной дроби. Выпишем эту дробь и разложим её на сумму простейших.

Решая систему, получим

Тогда

Следовательно,

Тема 8. Определенный интеграл

Задача 19.

Вычислить интегралы:

Решение:

=

=

= -=

=

Тема 9. Приложения определенного интеграла

Задача 20.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

Площадь фигуры, ограниченная непрерывными линиями

, , при условии, определяется по формуле:

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

Итак, получили точки пересечения прямой и параболы: (;0) и (1; 5).

Построим фигуру, ограниченную указанными линиями.

Тогда

=

Рис. 2.

Задача 21.

Вычислить площадь поверхности эллипсоида, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса:

(1)

Решение:

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = f(x) между точками с абсциссами х = а и х = b, вычисляется по формуле

(2)

Из уравнения эллипса (1) находим

Производная Используя формулу (2), получим

Чтобы вычислить последний интеграл, положим

Тогда z = 0 при х = 0 и прих = 2.

Тема 10. Функции нескольких переменных

Функцию z=f(x,y) можно дифференцировать, но при этом необходимо различать, по какой переменной это делается. Поэтому говорят о частных производных функции:

1) по переменной x z^/_{x ,} f^/_x(x,y), ,;

2) по переменной y z^/_y, f^/_y(x,y), .

Правила дифференцирования такие же, что и для функции одного переменного. Частная производная z^/_x означает, что приращение получает только переменная x при неизменном у. Частная производная z^/_y означает, что приращение получает только переменная y при неизменном x.

При дифференцировании частных производных по x или y получаем частные производные 2-го порядка: .

Задача 22.

Вычислить частные производные 1-го порядка и 2-го порядка функции z: z=x³-5xy²-y³

Решение:

,,,

, ,

.

Смешанные производные функции 2-х переменных равны, т.е .

Задача 23.

Записать полный дифференциал функции z=3ּx²+y³.

Решение:

Если x и y независимые переменные(∆x=dx, ∆y=dy), то полный дифференциал равен . Поэтому

, , иdz=6ּxּdx+3ּy²ּdy.

Задача 24.

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума:

Решая систему, получаем критическую точку (4;-2).

2) Найдем производные второго порядка в критической точке и определяем характер критической точки:

Получаем, Так как,то в точке (4;-2) функция имеет максимум:

Тема 11. Кратные интегралы.

Задача 25

Дан интеграл

Требуется:

1) построить на плоскости хОу область интегрирования D;

2) изменить порядок интегрирования;

3) вычислить площадь области D при заданном и измененном порядке интегрирования.

Решение:

1. Пределы внешнего интеграла по переменной х — числа 1 и 3 — указывают на то, что область D ограничена слева прямой х = 1 и справа прямой х = 3.

Пределы внутреннего интеграла по переменной у указывают на то, что область D ограничена снизу параболой и сверху прямойПостроив эти линии на отрезке [1; 3], получим областьD (рис. 3).

Рис. 3.

2. Чтобы изменить порядок интегрирования, установим пределы интегрирования для внешнего интеграла по переменной у. Как видно из рис. 12 наименьшее значение, которое принимает у в области D, равно 1 в точке А(1;1), а наибольшее значение равно 5 в точке В(3;5). Следовательно, внешний интеграл по переменной у будет иметь пределы: 1 (нижний предел) и 5 (верхний предел).

Определим пределы для внутреннего интеграла по переменной х.

Из уравнения прямой получаемнижний предел.

Из уравнения параболы получаем– верхний предел. Таким образом,

3. Вычислим площадь области D при заданном порядке интегрирования:

4. Вычислим площадь области D при измененном порядке интегрирования:

Тема 12. Ряды

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд , причем. Если существует предел, то при ряд сходится, прирасходится.

Задача 26.

Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера

Решение:

, .

Вычислим предел отношения . Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Признак Коши.

Пусть дан ряд , причем. Если существует предел, то при ряд сходится, прирасходится.

Задача 27.

Исследовать ряд на сходимость, используя признак Коши .

Решение:

. Вычислим предел . Следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

Интегральный признак сходимости Коши.

Пусть дан ряд =, причем. Элементы ряда являются значениями некоторой функции(положительной, непрерывной, невозрастающей на). Тогдаисходятся и расходятся одновременно.

Замечание. сходится, если существует конечный предел .

Задача 28.

Исследовать ряд на сходимость, используя интегральный признак Коши .

Решение:

Рассмотрим функцию на. Очевидно, что функция положительна, непрерывна и невозрастающая наИсследуем на сходимость интеграл

. Значит, интеграл расходится, поэтому и ряд расходится.

Тема 13. Дифференциальные уравнения первого порядка

Задача 29.

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Разделим данное уравнение на получим. Уравнение является однородным. Применяем подстановку, где- некоторая функция аргумента. Тогда

Уравнение примет вид Отсюда. Чтобы разделить переменные, умножим уравнение на дробь. Получим. Это уравнение с разделенными переменными относительнои. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:;

Выполним обратную замену Следовательно,– общее решение данного уравнения.

Задача 30.

Получить общее решение уравнения .

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производнуюв первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , гдеи- некоторые неизвестные функции аргумента. Если, тои данное уравнение примет вид

,

или

. (1)

Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функциютак, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функциютак, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид

. (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и. Решим это уравнение:

; ;;

; ,.

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим:;;;. Интегрируя, получаем. Тогда- общее решение данного уравнения.

Тема 14. Дифференциальные уравнения второго порядка

Задача 31.

Указать частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) ;

б) .

При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где

, где - многочлен степени,- многочлен степени. Тогда общее решение уравнения ищется в виде, где- общее решение соответствующего однородного уравнения,- какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнениясоставляем характеристическое уравнение. При решении которого возможны следующие случаи:

уравнение имеет действительные различные корни , тогда, гдеи- произвольные постоянные;

уравнение имеет действительные равные корни , тогда, гдеи- произвольные постоянные;

уравнение имеет комплексные корни и, тогда , гдеи- произвольные постоянные.

Если правая часть уравнения имеет специальный вид, где- многочлен степени,- многочлен степени, тогда частное решениеищется в виде:,и- многочлены степени,, а- кратность корняхарактеристического уравнения.