- •Методические указания
- •Общие методические указания
- •Примеры решения задач
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Основы векторной алгебры
- •Вычислить длину вектора , если,,,.
- •Тема 4. Введение в математический анализ
- •Тема 5. Производная и дифференциал Правила дифференцирования:
- •Тема 6. Исследование поведения функции
- •Тема 7. Неопределенный интеграл
- •Тема 8. Определенный интеграл
- •Тема 9. Приложения определенного интеграла
- •Тема 10. Функции нескольких переменных
- •Тема 11. Кратные интегралы.
- •Тема 12. Ряды
- •Тема 13. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 14. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Тема 15. Основы теории вероятностей
- •Тема 16. Элементы математической статистики
- •Контрольные задания для студентов - заочников экономического факультета
- •Контрольная работа №1
- •Тема: «линейная алгебра»
- •Тема: «аналитическая геометрия (прямая на плоскости)»
- •Тема: «элементы векторной алгебры»
- •Тема: «функции 2-х переменных»
- •Контрольная работа №2
- •Тема: «случайные величины»
- •Контрольные задания для студентов - заочников агрономического факультета
- •Контрольная работа 1.
- •Контрольная работа 2.
- •Контрольные задания для студентов - заочников биолого-технологического факультета и факультета ветеринарной медицины
- •Контрольные задания для студентов - заочников инженерного факультета и института природообустройства
- •Приложение
- •Литература
- •Содержание
Тема 6. Исследование поведения функции
Задача 17.
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Функция терпит разрыв при х=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как и
3.Исследуем функцию на экстремум, используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке х0 вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция имеет максимум прии минимум приНаходим первую производную:
(1)
или
Как видно, первая производная равна нулю при х = 1 и х = 3 и не существует при х = 2. Так как при х = 2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у":
Сократив на и выполнив преобразования в числителе,
получим
(2)
Так как то прих1 = 1 функция имеет максимум. Так как то прих2 = 3 функция имеет минимум.
Вычислим значения функции в точках экстремума: y(1) = 3; у (3) = 7. Следовательно, А (1; 3) — точка максимума, В(3; 7) — точка минимума.
4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.
5. Определим асимптоты графика функции, х = 2 есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:
Следовательно, – уравнение наклонной асимптоты.
График исследуемой функции приведен на рис. 1.
Рис. 1.
Тема 7. Неопределенный интеграл
Свойства:
1) ,
2)
Таблица интегралов основных элементарных функций:
;
;
;
;
;
;
;
9'.
10'.
11'.