Тема 4. Введение в математический анализ

Задача 14.

Вычислить указанные пределы:

Решение:

а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель. Так как аргументтолько стремиться к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множительотличен от нуля при:

.

б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения для числителя и знаменателя (чтобы применить формулу.

Тогда

в) .

Использовали первый замечательный предел .

Искомый предел можно найти иначе. Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной, так при ~, то

г) при основание степени стремится к 1, а показатель степени стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида. Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины:

Тогда

Используем второй замечательный предел

д) При основание (3х–5) стремится к единице, а показатель степенистремится к бесконечности.

Положим где приТогда и

Выразив основание и показатель степени через , получим

е) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на.

ж) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы применить формулуa²–b²=(a–b)(a+b).

Тема 5. Производная и дифференциал Правила дифференцирования:

1. ;

2. 

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Таблица производных основных элементарных функций:

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций

Задача 15.

Определить производные следующих функций:

а)

г) д)

е); ж).

Решение:

Используем правила дифференцирования и таблицу:

.

б) Последовательно применяя формулы и правила дифференцирования, получим:

в)

=

г) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

откуда

е) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем:

.

ж) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

.

Задача 16.

Написать дифференциал данной функции .

Решение:

Дифференциал функции имеет вид

Вычислим производную, используя третье правило дифференцирования

Тогда