3.3. Расчет распределения плотности свободных зарядов в структуре разряда

Изменение распределения плотности зарядов _i,jв структуре разряда определяется из уравнения (3.3) в дискретной форме после каждого шага роста:

(3.7) здесь⁽ⁿ⁾_k - проводимость структуры разряда на n-ом шаге роста, суммирование ведется вдоль структуры разряда.

Изменение проводимости структуры разряда ⁽ⁿ⁾_i,jрассчитывается на каждом шаге роста из (3.4) в дискретном виде:

(3.8) гдеФ⁽ⁿ⁾_k =Ф⁽ⁿ⁾_k-Ф⁽ⁿ⁾_k-1- падение напряжения вдоль структуры разряда, r_k-расстояние между соседними узлами структуры разряда.

Вне структуры разряда проводимость диэлектрика принимается равной нулю.

Интервал физического времени t⁽ⁿ⁾для n-ого шага роста определяется из (3.6) в дискретном виде:

t⁽ⁿ⁾=/Z⁽ⁿ⁾(3.9)

3.4. Расчет электрического потенциала внутри диэлектрика

Расчет потенциала Ф_i,jпо решетки

Рис. 3.3

Ф_i,j- потенциал в узле с координатами i,j.

В настоящей модели значение потенциалов на узлах решетки, моделирующей диэлектрик, Ф_i,jбудут удовлетворять дискретному аналогу уравнения Пуассона (рис. 3.3).

(3.10)

Найти решения уравнения (3.10) с заданными граничными условиями можно, используя метод итераций. Суть его заключается в том, что исходя из какого-либо начального распределения потенциала Ф⁽⁰⁾_i,j- нулевого приближения, не удовлетворяющего уравнению Пуассона, построить первое приближение Ф⁽¹⁾_i,j по формуле (3.10). Затем по первому приближению Ф⁽¹⁾_i,jпостроить второе Ф⁽²⁾_i,jи т.д. Итерации нужно производить до тех пор, пока разница между последующими приближениями не станет меньше некоторой наперед заданной величины, зависящей от требуемой точности расчета.

Таким образом можно получить решение уравнения Пуассона с любой наперед заданной точностью. В настоящей работе такой расчет поля производится после каждого шага роста структуры разряда с точностью 1%.

3.5. Расчет вероятности роста структуры разряда

Вероятность роста структуры разряда в том или ином месте может зависеть от локальной напряженности поля, так и от состояния диэлектрика. Имеющиеся в настоящее время данные не позволяют точно определить эту вероятность. Поэтому мы выберем простой и в то же время достаточно общий вид зависимости вероятности Р_(i,j)(l,m)пробоя между узлами с координатами (i, j) и (l, m) от напряженности поля Е_(i,j)(l,m)между ними. Напомним, что напряженность поля между узлами вычисляется через потенциалы узлов Ф_i,jи расстояние r_(i,j)(l,m)между узлами

(3.11)

Если локальная напряженность поля больше или равна некоторой критической Е_c, то вероятность Р_(i,j)(l,m)присоединения нового элемента с координатами l,m к уже имеющейся структуре разряда (пробой между узлами (i,j) и (l,m) решетки) предположим пропорциональной значению локальной напряженности поля Е_(i,j)(l,m)в степени. В противном случае, когда локальная напряженность поля меньше критической, вероятность будет равна нулю. То есть

(3.12)

Здесь Z нормировочный множитель. Из условия нормировки вероятности

(3.13)

получим:

(3.14)

Суммирование в формулах (3.13) и (3.14) ведется по всем парам узлов, между которыми возможен пробой.

Таким образом, в настоящей модели зависимость вероятности пробоя от локальной напряженности включает два параметра: критическую напряженность поля Е_cи показатель роста. Значения обоих параметров зависят от свойств диэлектрика, пробой которого мы моделируем. Рассмотрим влияние этих параметров на характер роста структуры разряда. Увеличение значения критической напряженности Е_cприводит к уменьшению возможных путей роста и, следовательно, к уменьшению степени ветвления структуры разряда. Если критическая напряженность Е_cпревосходит локальную напряженность во всех точках, то развитие разряда прекращается, и мы имеем незавершенный пробой. Параметропределяет степень зависимости роста от величины локальной напряженности поля.

Результат моделирования Результат моделирования

при = 1 при= 2

Рис. 3.4 Рис. 3.5

При =0 рост равновероятен для всех разрешенных направлений. В результате будет образовываться плотная структура, полностью заполняющая пространство. При больших значениях параметра(>>1) рост будет происходить только в направлении с наибольшей напряженностью поля. При этом будет возникать линейная структура. При значениях параметрапорядка единицы в процессе роста образуются ветвящиеся структуры, размерность D которых зависит от величины. На рис. 3.4, 3.5 изображены картины разряда, полученные для значений параметраравных 1 и 2, соответственно, при прочих равных условиях.