3. Компьютерная модель роста разрядной структуры

3.1. Возможности компьютерного моделирования

В последние годы, благодаря широкому распространению персональных компьютеров и появления суперкомпьютеров, вычислительные методы получают все более широкое распространение в физике. Компьютерное моделирование позволяет решать сложные задачи, не поддающиеся решению иными методами. Для изучения формирования пробоя диэлектриков кампьютерные эксперименты имеют особое значение, как в виду сложности образующихся разрядных структур, так и вследствие несовершенства теоретических моделей их роста. Чтобы глубже понять природу сложного физического процесса, часто бывает полезно отвлечься от учета всех деталей явления и рассматривать достаточно простую модель, которая воспроизводит основные свойства процесса. Поэтому мы будем рассматривать модель пробоя диэлектрика, основанную на простом алгоритме роста и содержащую всего несколько параметров. Однако уже такая модель приводит к реалистичным структурам разряда, позволяет проводить их анализ и сравнение с результатами эксперимента. Параметры модели имеют наглядную физическую интерпретацию, и варьируя их значения можно изменять характер роста разряда.

3.2. Общая структура модели разряда

Развитие разряда в реальном диэлектрике является случайным процессом. Причиной этому могут служить как стохастические изменения величины тока в каналах разряда, так и флуктуации состояния диэлектрика. Поэтому, мы будем рассматривать стохастическую модель развития разряда. Исходя из практического интереса, выберем геометрию разрядного промежутка в виде острие-плоскость (рис. 3.1). Хотя большинство реальных разрядов происходит в объеме, мы в целях простоты и наглядности, а также из-за ограниченных вычислительных возможностей имеющихся компьютеров, будем рассматривать двухмерную модель разряда. Компьютерное моделирование удобней проводить в дискретном пространстве. Геометрия электродов используемая для

моделирования

Рис. 3.1

Поэтому представим пространство между электродами в виде квадратной решетки, каждый узел которой может относиться к диэлектрику или к структуре разряда (рис. 3.1). Узлы диэлектрика, которые стали принадлежать структуре разряда, будем называть пробитыми. Начальное распределение потенциала зададим следующим образом. Верхний электрод с острием имеет потенциал V₀, а нижний электрод находится под нулевым потенциалом. Значение потенциалов в узлах решетки определяются по граничным условиям с помощью теремы Гаусса:

(3.1)

где - вектор электрической индукции, Ф - электрический потенциал,- плотность свободных зарядов,- относительная диэлектрическая проницаемость,₀- абсолютная диэлектрическая проницаемость.

разряда на решетке

Рис. 3.2

Рост структуры разряда начинается с острия и происходит по шагам. За один шаг структура растет или на одно ребро, или на одну диагональ решетки. На рис. 3.2 изображена примерная конфигурация разряда после нескольких шагов. Черные кружки отмечают узлы, принадлежащие структуре разряда - пробитые узлы. Крестиками отмечены узлы, которые могут быть пробиты на следующем шаге.

Вероятность того, что пробой произойдет по некоторому ребру или диагонали, соединяющей уже принадлежащий структуре разряда и еще не пробитый узел, зависит от локальной напряженности поля между ними (разности потенциалов между этими узлами деленной на расстояние между ними). В настоящей модели вероятность пробоя в рассматриваемой точке принимается пропорциональной напряженности поля Е в степени , если локальная напряженность поля Е больше некоторой критической напряженности Е_с, в противном случае равна нулю:(3.2) где Z - нормирующий множитель, Z=E^(суммирование ведется по всем возможным направлениям роста);- параметр роста; Е - локальная напряженность поля в рассматриваемой точке; Е_с- некоторая критическая напряженность поля.

Значение параметра роста и величина Е_сзависят от свойств диэлектрика и происходящих при пробое процессов, а стохастичность модели заключается в том, что из полученного распределения вероятности роста (3.2), случайным образом выбирается направление роста на данном шаге.

Поскольку структура разряда обладает большей электрической проводимостью, чем диэлектрик, то ее развитие будет приводить к выносу заряда в межэлектродное пространство и изменению распределения поля в диэлектрике. В данной модели изменение распределения плотности свободных зарядов в структуре разряда определяются исходя из закона Ома j=и уравнения непрерывности:

(3.3) здесь- электропроводность структуры разряда.

В процессе развития пробоя проводимость структуры пробоя меняется. Ионизация, джоулево нагревание, процессы расширения каналов ведут к увеличению проводимости. Напротив, рекомбинация, охлаждение излучением и ударными волнами уменьшают проводимость. Поэтому в настоящей модели увеличение проводимости связывается с освобождаемой в каналах энергией, а уменьшение ее считается прямо пропорциональной самой себе:

(3.4) гдеи- соответственно параметры увеличения и уменьшения проводимости.

Важным аспектом развития структуры разряда является зарождение канала. В настоящей модели допускается, что если канал инициируется с поверхности острия, то его проводимость равна некоторой начальной проводимости. Другое правило используется для распространения каналов. Проводимость вновь образовавшегося канала _newпропорциональна проводимости старого канала_old, из которого растет новый:

_new=_old (3.5)

где - коэффициент передачи проводимости

Для того, чтобы адекватно описывать динамику переноса энергии и движения зарядов, было введено физическое время. Поскольку рост структуры разряда в настоящей модели определяется распределением вероятности роста (3.2), то необходимо учитывать его и при переходе к физическому времени. Из уравнения (3.2) следует, что функция скорости роста (Е) в любой точке структуры разряда имеет степенную зависимость от напряженности поля(Е)=Е^/, где- некоторая постоянная. Так как события роста структуры разряда в разных точках статистически независимы, полная функция скорости W есть сумма(Е) по всем возможным направлениям роста: W=(Е). Среднее время роста каналаt обратно пропорционально W:t=1/W. Поэтому:

t= (^=E^=Z(3.6) здесьимеет смысл параметра перехода к физическому времени, Z - нормирующий множитель из (3.2).

Таким образом, после каждого шага роста необходимо вычислять новые значения потенциала во всех узлах, принадлежащих диэлектрику согласно новым граничным условиям. Граничными условиями будут значения потенциала электродов и плотность свободных зарядов узлов, принадлежащих структуре разряда.