Примеры решения задач
В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q=1 нКл. Какой отрицательный заряд q надо поместить в центре квадрата, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?
Так как все заряды находятся в равновесии, достаточно рассмотреть силы, действующие на один из зарядов: F1+F2+F3+F5=0, где F1, F2, F3 и F5 - силы, действующие на заряд Q4 со стороны зарядов Q1, Q2, Q3 и q.
Видим, что силы F1 и F3 равны, то равнодействующая этих сил в скалярной форме R=2F1cos.
Запишем сумму всех сил в скалярной форме:F5=R+F2. (1)
Найдем проекции сил F1, F2, и F5:
;
(2),
где а - сторона квадрата, r1
- диагональ квадрата, r2
- половина диагонали.
Подставляя формулы (2) в (1), получаем уравнение:
;
откуда
нКл
На металлической сфере радиусом R=12 см находится заряд Q=1 нКл. Определить напряженность электрического поля на расстоянии : 1) 8 см от центра; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии 15 см от центра. Построить график зависимости E(r).
Для определения напряженности в области Е1 на расстоянии r1=8 см от центра сферы построим сферическую поверхность S1 радиусом r1. По теореме Гаусса-Остроградского:
,
где Еn
-нормальная составляющая напряженности
электрического поля. Т.к. внутри сферы
S1
зарядов нет, то
.
Из соображений симметрии Еn=Е1=const,
поэтому ее можно вынести за знак
интеграла:
.
Т.к. площадь сферы не равна нулю, то Е1=0.
Напряженность во всех точках сферы,
удовлетворяющих условию r1<R
равна нулю.
Для определения напряженности Е2 на поверхности сферы запишем теорему Гаусса-Остроградского:
,
Из симметрии Еn=Е2=const и т.к. Qi=Q, можем записать:
,
подставляя площадь сферы, находим
Для определения напряженности в области Е3 на расстоянии r3=15 см от центра сферы построим сферическую поверхность S3 радиусом r3. По теореме Гаусса-Остроградского:
,
Из симметрии Еn=Е3=const и т.к. сумма зарядов внутри поверхности S3 равна Q, можем записать:
,
подставляя площадь сферы S3,
находим
График зависимости Е(r):
На схеме сопротивление R=1,4 Ом, электродвижущие силы Е1=Е2=2 В, внутренние сопротивления этих элементов r1=1 Ом, r2=1,5 Ом. Найти силу тока в каждом из элементов и во всей цепи.
В
соответствии со вторым законом Кирхгофа
для контура АЕ1ВЕ2А
можем записать:
I1r1 - I2r2 = E1 -E2 (1)
по условию: E1 =E2 (2)
По первому закону Кирхгофа для узла В:
I1 + I2 = I (3)
и по второму закону Кирхгофа для контура AE2BA:
E2 = I2r2 + IR (4)
Подставляя значение I из уравнения (3) в (4), получим
E2 = I2r2 + (I1+ I2) R, откуда
Подставив значение I2 в уравнение (1) и решая совместно (1) и (2), находим
а затем
и