3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

Упражнение 3.3 Пусть l1(bn) компактно вложено в l1(cn) и

\

a 2 l1(bn) l1(cn)

показать, что тогда

KOrb(a; l1(bn); l1(cn)) = l1(bn) \ l1(cn)

Упражнение 3.4 Пусть

9D1; D2 > 0 : 8k D1 6 bk 6 D2 ck

и

a 2 l1(bn) + l1(cn)

показать, что тогда

KOrb(a; l1(bn); l1(cn)) = l1(bn) + l1(cn)

3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

Определение 3.2 Орбитой элемента a 2 X1 + X2 в Y1 + Y2 называется

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)) =

= fy 2 Y1 + Y2 j 9T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)) : T a = yg ;

где X1; X2 и Y1; Y2 две банаховых пары.

3.2.1 Орбита как банахово пространство

Лемма 3.2 (Лемма о норме орбиты.) Пусть E промежуточное пространство для банаховой пары X1; X2; и a 2 E: Тогда

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2))

49

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

является банаховым пространством с нормой

kykOrb =

= inf kT kL((X1;X2);(Y1;Y2)) j T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T a = y kakE :

Доказательство. Проверим что kykOrb действительно является нормой.

Если kykOrb = 0; то существует последовательность операторов fTng : Tn 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); Tna = y kakE

таких, что

lim kTnkX1!Y1 = 0

n!1

и

lim kTnkX2!Y2 = 0:

n!1

Тогда и

lim kTnkL((X1;X2);(Y1;Y2)) = 0: n!1

Так как

L((X1; X2); (Y1; Y2))

банахово пространство, то существует оператор

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2));

T a = y kakE; lim Tn = T

n!1

и

kT kL((X1;X2);(Y1;Y2)) = 0:

Следовательно T = 0; а тогда

T a

y = kakE = 0:

50

3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

Рассмотрим k ykOrb: Очевидно, что если

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2))

и 6= 0; то

1

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)):

Тогда

k ykOrb =

= inf max (kT kX1!Y1 ; kT kX2!Y2 ) j

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T a = y kakE =

= inf max (kT kX1!Y1 ; kT kX2!Y2 ) j

1 T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); 1 T a = y kakE =

= inf max k 1 T kX1!Y1 ; k 1 T kX2!Y2 j

1 T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); 1 T a = y kakE =

= inf j j max k1 T kX1!Y1 ; k1 T kX2!Y2 j

1 T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); 1 T a = y kakE =

= j jkykOrb:

Проверим теперь полуаддитивность

ky1 + y2kOrb =

51

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

= inf max (kT kX1!Y1 ; kT kX2!Y2 ) j

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T a = (y1 + y2) kakE =

= inf max (kT1 + T2kX1!Y1 ; kT1 + T2kX2!Y2 ) j

T1; T2 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T1a = y1 kakE; T2a = y2 kakE 6

6 inf max (kT1kX1!Y1 + kT2kX1!Y1 ; kT1kX2!Y2 + kT2kX2!Y2 ) j

T1; T2 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T1a = y1 kakE; T2a = y2 kakE 6

6 inf max (kT1kX1!Y1 ; kT1kX2!Y2 ) + max (kT2kX1!Y1 ; kT2kX2!Y2 ) j

T1; T2 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)); T1a = y1 kakE; T2a = y2 kakE =

= ky1kOrb + ky2kOrb:

Следовательно мы показали что k kOrb является нормой, осталось доказать полноту пространства

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)):

Любая фундаментальная последовательность fyng1n=1 пространства

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2))

является фундаментальной последовательностью пространства Y1+

Y2: Тогда существует фундаментальная последовательность операторов fTng1n=1 пространства

L((X1; X2); (Y1; Y2));

52

3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

то есть существует

T 2 L((X1; X2); (Y1; Y2)) :

lim Tna = lim T a = y kakE;

n!1 n!1

y 2 Y1 + Y2:

Что и требовалось доказать.

3.2.2 Вложение орбит элементов в K орбиты

Лемма 3.3 (Лемма о вложении орбит элементов в K орбиты.) Какими не были бы банаховы пары X1; X2 и Y1; Y2 и элемент a 2 X1 + X2 выполняется следующие вложение:

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)) KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)):

Доказательство. Пусть

y 2 Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2));

тогда существует оператор T такой что T a = y и

9C1; C2 : kT xkY1 6 C1kxkX1 ; kT xkY2 6 C2kxkX2 :

Из определения K функционала следует, что какое бы положительное " мы не взяли найдётся разложение

a = a1 + a2; a1 2 X1; a2 2 X2

такое что

K(t; a; X1; X2) > ka1kX1 + tka2kX2 ":

53

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

Тогда

и в силу произвольности " получим

sup K(t; y; Y1; Y2) 6 t>0 K(t; a; X1; X2)

6 max(C1; C2) sup ka1kX1 + tka2kX2 =

t>0 ka1kX1 + tka2kX2

= max(C1; C2) < +1:

Это и означает вложение

Orb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)) KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)):

Лемма 3.4 (см. [3]) Пусть последовательности чисел

fang1n=1; fbng1n=1; fcng1n=1; fdng1n=1

такие, что

8n 2 N an; bn; cn; dn > 0;

ряды

an; bn; cn; dn

54

3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

сходятся и выполняется

XX

min(an; tbn) 6 min(cn; tdn) 8t > 0;

тогда можно подобрать ij > 0 так чтобы:

1

P

1.ij = 1; 8j 2 N

i=1

1

P

2.ijaj 6 ci; 8i 2 N

j=1

1

P

3.ijbj 6 di; 8i 2 N

j=1

3.2.3 Совпадении орбит и K орбит

весовых пространств суммируемых последовательностей

Теорема 3.1 (Теорема о совпадении орбит и K орбит весовых пространств суммируемых последовательностей.)

Пусть 1 6 p1; p2 < +1 и для последовательностей fang1n=1; fbng1n=1; fcng1n=1; fdng1n=1

выполняется an; bn; cn; dn > 0; тогда

Orb(x; (lp1 (an); lp2 (bn)) ! (lp1 (cn); lp2 (dn))) =

= KOrb(x; (lp1 (an); lp2 (bn)) ! (lp1 (cn); lp2 (dn)))

Доказательство. Пусть

y 2 KOrb(x; (lp1 (an); lp2 (bn)) ! (lp1 (cn); lp2 (dn)))

покажем что тогда

y 2 Orb(x; (lp1 (an); lp2 (bn)) ! (lp1 (cn); lp2 (dn))):

55

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

Для y верно

sup K(t; y; lp1 (cn); lp2 (dn)) < +1; t>0 K(t; x; lp1 (an); lp2 (bn))

тогда согласно лемме 3.5

sup K(p1;p2)(t; y; lp1 (cn); lp2 (dn)) < +1

t>0 K(p1;p2)(t; x; lp1 (an); lp2 (bn))

и согласно следствию 2.4

sup K(p1;p2)(t; y; lp1 (cn); lp2 (dn)) < +1:

t>0 K(p1;p2)(t; x; lp1 (an); lp2 (bn))

Это означает, что существует константа C > 0 :

Возьмём ' 2 lp1 (an) + lp2 (bn) и оператор T :

8

< P ij 'i yj; yj 6= 0 xi

Tj' = i2G

: 0; yj = 0

где

G = fi 2 N : xi 6= 0g :

56

3.2 Орбиты элементов в банаховых парах.

Из формулы (3.3) следует, если xi = 0 и yj 6= 0; то ij = 0: Тогда

Следовательно

T 2 L((lp1 (an); lp2 (bn)); (lp1 (cn); lp2 (dn)))

и тогда

y 2 Orb(y; (lp1 (an); lp2 (bn)) ! (lp1 (cn); lp2 (dn))):

Что и требовалось доказать.

57

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

3.2.4Совпадении орбит и K орбит весовых пространств суммируемых функций

Теорема 3.2 (см. [3] стр. 240–244)(Теорема о совпадении орбит и K орбит весовых пространств суммируемых функций.)

Если

Lp1a(X; ); Lp2b(X; )

и

Lp1c(X; ); Lp2d(X; )

две банаховых пары, где

1 6 p1; p2 < +1;

и

x 2 Lp1a(X; ) + Lp2b(X; );

то

y 2 Orb(x; (Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) ! (Lp1c(X; ); Lp2d(X; )))

тогда и только тогда, когда

y 2 KOrb(x; (Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) ! (Lp1c(X; ); Lp2d(X; )))

пары банаховых пространств, тогда для любых

0 < p1; p2 < +1

58