5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

Если систему гильбертовых полунорм (j jr), определяющую топологию, возможно выбрать таким образом, что любое каноническое вложение

rr+1 : Er+1 ! Er

является компактным, то для любой пары ассоциированных гильбертовых пространств Er Es; согласно теореме о спектральном разложении 5.2, существует последовательность (fn), которая дает ортогональные базисные последовательности в Er и в Es при канонических вложениях. А именно, рассмотрим тождественный оператор T вложения пространства Er в Es: Так как оператор T является

компактным, то согласно спектральной теореме найдутся ортонор-

мированные последовательности (ei) в Er; (fi) в Es

и T имеет вид:

1

X

T h = i(h; ei)rfi; i # 0

i=1

при i " 1:

Пусть

fn0 (x) = (x; fn)s;

тогда

1

X

fn0 (x) fn = x; 8x 2 Es:

n=1

Поэтому (fn) общий базис пространств Er и Es:

5.1.2 Базис в дополняемых подпространствах пространств Кёте.

Приведём схему доказательства существования базиса в дополняемом подпространстве пространства Кёте с использование интерпо-

85

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

ляции, которая широко применяется в работах различных авторов (см. например [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]).

Пусть P некоторый непрерывный линейный проектор из E на

F; который существует по определению дополняемости F в E: Этому проектору соответствует инволютивный оператор J = 2P I;

то есть изоморфизм со свойством J2 = I (здесь I тождественный оператор в E). Если условие непрерывности P записывается в виде

8r 9s(r); Ce(r) > 0 : jP ejr 6 Ce(r)jejs(r); e 2 E;

где можем считать

X

jej2r = je0n(e)j2a2r(n); r = 1; 2; :::

n

(e0n координатные функционалы базисов ортов (en));

то условие непрерывности J

jJejr 6 C(r)jejs(r); e 2 E; r 2 N (C(r) = 3Ce(r))

и ввиду инволютивности J

jejr 6 C(r)jJejs(r); e 2 E; r 2 N:

Введём новую систему норм (k kr) :

kek2r = jej2r + jJej2r; e 2 E; r 2 N:

Эта система норм эквивалентна исходной, так как при любом r 2 N

p

jejr 6 kekr 6 D(r)jejs(r); e 2 E D(r) = 1 + (C(r))2 ;

и

kJekr 6 kekr (kP ekr 6 kekr) ; r 2 N; e 2 E:

86

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

Введём тупиковый вес a1(n) > ar(n); 8r: Тогда для новой системы

норм определим так называемую "тупиковую" норму

со свойством ]Je[16]e[1; e 2 X0 = span(en)1n=1

Обозначим пополнения X0 по гильбертовым нормам k k1 и ] [1 через H0 и H1 соответственно. Очевидно, при этом H1 тождественно вложено в H0 и умножением в случае необходимости, нормы

k k1 на подходящее число можно добиться, чтобы норма ] [0= const k k1 удовлетворяла неравенству ] [06] [1: и оператор тождественного вложения

10 : H1 ! H0

имеет единичную норму. При этом, если является компактным, то согласно теореме 5.2, в H0 и H1 можно выбрать общий ортогональный базис. В общем случае (см. например [22]) рассмотрим самосопряжённый оператор

S = ( 10 ) 10 : H1 ! H1:

Согласно спектральной теореме этот самосопряжённый (неотрицательный) ограниченный оператор может быть представлен в виде

где ES спектральное семейство (разложение единицы), построенное по оператору S (см., напр., [22]).

87

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

Затем по аналогии с [22] перейдём к функции от оператора S вида

Тогда

Se 6 S 6 2S;e

и определяемая этим оператором гильбертова норма

]e[0= (Se;Se)1

(здесь ( ; )1 скалярное произведение в H1) эквивалентна норме k k1: Выбирая теперь в каждом инвариантном подпространстве

E(2S k;2 k+1]H1

ортонормированную полную систему, можем составить общий ортогональный базис (hj) в (H0; ] [0) и (H1; ] [1):

Вспомним, что согласно построению норм ] [0 и ] [1 (точнее, исходных норм k k1; ] [1) проектор P (и J) непрерывен одновременно в H0 и H1: Это означает, что можно просто повторить все построения отдельно для подпространства P H1 и для (I P )H1;

а затем составить общий ортогональный базис (hj) в H0 и H1; при соответствующем выборе эквивалентных норм, из части (hj)j2 ;

порождающей P H1 и части (hj)j2Nn ; порождающей (I P )H1:

Считая последовательность (hj) нормированной в (H0; ] [0); определим числа tj из следующих равенств

]hj[= a1(tj);

88

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

выбирая каждый раз tj максимальным числом из всех удовлетворяющих равенству, что возможно, так как данный тупиковый вес является неубывающей функцией.

Для пары пространств H1 H0 образуем семейство промежуточных пространств Hr; путём пополнения линейной оболочки базиса ортов (en)1n=1 по "искусственным"нормам

где h0j коэффициентные функционалы общего ортогонального базиса (hj) (эти функционалы можно выразить в терминах скалярного произведения ( ; )0)

Другое семейство гильбертовых пространств fGrg получим путём пополнения X0 относительно естественных норм

n=1

Для указанных семейств гильбертовых пространств, согласно построению, имеем тождественные вложения

G1 H1; Gs(0) H0;

и, с другой стороны, естественные вложения

H0 G0; H1 Gq:

Если теперь показать, что последовательность норм (k kr)1r=1 эквивалентна последовательности норм (j jr)1r=1; задающей исходную

89

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

топологию в E: Это и будет означать, что (hj) 2 абсолютный базис (как базис ортов счётно-гильбертова пространства Кёте), а значит, (hj)j2 2 абсолютный (безусловный) базис в F:

С одной стороны, тождественные вложения G1 в H1 и Gs(0) в H0

можно рассматривать как линейный оператор Tid на span(en); который допускает распространение до ограниченного оператора в каждом из крайних пространств

Tid : G1 ! H1;

Tid : Gs(0) ! H0:

Если при любом r этот оператор допускает распространение до ограниченного оператора

Tid : Gs(r) ! Hr;

где s(r) > r: Это даст нам одну серию оценок норм

Указанная интерполяция Tid возможна при выполнении известного условия интерполяции (см. например [10]), которое при данном выборе индексов имеет конкретный вид

8i; j;

где B > 0 некоторая константа, которая может зависеть от r

и s(r): Проверка данного условия во многих случаях может вызвать затруднение. Если же для функций ar(t) и a1(t) выполняются условия теоремы 4.1 (в частности a1(t) = 1), то мы получаем

90

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

возможность вместо данного условия воспользоваться условием:

ar(t) 6 Bas(r) as(1)1 (a1(t))

Чтобы доказать другую серию неравенств

8r 9'(r); A(r) > 0

jejr 6 A(r)kek'(r); e 2 X0;

необходимо показать выполнение условия интерполяции оператора тождественного вложения Tid1; который допускает распространение до ограниченного оператора

Tid1 : H0 ! G0; Tid1 : H1 ! Gq:

Для каждого фиксированного значения индекса r естественной нормы в E подберём своё значение q = q(r) так, чтобы выполнялись неравенства:

r < '(r) < q(r);

где '(r) определено ниже. При каждом выборе q условие интерполяции оператора Tid1; а точнее, непрерывности вложения

В этом случае вложение

Tid1 : H'(r) ! Gr

91