5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

непрерывно, а вместе с тем полностью доказывается эквивалентность системы "искусственных" норм (k kr) любой системе норм вида (j jr); задающей исходную топологию E:

Отсюда следует, что последовательность (hj) является 2-абсолют- ным базисом пространства E и его подпоследовательность (hj)j2

2 абсолютным базисом в F: Согласно теореме о единственности безусловного базиса в указанных пространствах (см., [23] теорема 5, или [24] теорема 3), базис (hj) квазиэквивалентен базису единичных ортов, а подпространство F; порождаемое подпоследовательностью (hj)j2 ; изоморфно координатному подпространству, порождаемому подпоследовательностью ортов, квазиэквивалентной (hj)j2 :

5.1.3 Пространство степенных рядов конечного типа

Ниже приведём пример пространства для которого работает изложенная выше схема доказательства существования базиса в дополняемых подпространствах. В качестве такого пространства возьмём пространство степенных рядов конечного типа. Доказательство изложенное в данном параграфе имеет целью только проиллюстрировать применение метода орбит.

Определение 5.6 Пространство Кёте вида:

где

r " < +1; bn " +1

92

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

при

r ! +1; n ! +1

называется пространством степенных рядов конечного типа.

Теорема 5.3 В любом дополняемом подпространстве пространства степенных рядов конечного типа lp[e r bn]; p > 1 существует базис.

Доказательство. Так как каковыми бы не были числа ; 2 R

пространства lp[e r bn] и lp[e r bn] диагонально изоморфны, оператором изоморфизма является

T : lp[e r bn] ! lp[e r bn] T x = x;

то не нарушая общности рассуждений можно считать что = 0:

Тогда в качестве a1(n) можно взять e bn = 1:

Дословно повторяя изложенную выше схему мы приходим к необходимости доказать, что тройка пространств

(Lp(0; +1); Lp(e s(1)t; (0; +1)); Lp(e s(r)t; (0; +1)))

интерполяционна относительно тройки пространств

(Lp(0; +1); Lp(e 1t; (0; +1)); Lp(e rt; (0; +1)));

в первой серии оценок норм. И доказать, что тройка пространств

(Lp(0; +1); Lp(e 1t; (0; +1)); Lp(e '(r)t; (0; +1)))

интерполяционна относительно тройки пространств

(Lp(e q(r)t; (0; +1)); Lp(e 1t; (0; +1)); Lp(e rt; (0; +1)));

93

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

во второй. Согласно теореме 4.1 в первом случае оптимальным интерполяционным пространством будет

s(r) 1 t

Lp(e s(1) ; (0; +1)):

Так как r " 0; то для любого r найдётся s(r) такое что

r < s(r) 1 :

s(1)

Следовательно,

s(r) 1

Lp(e s(1) t; (0; +1)) Lp(e rt; (0; +1)):

То есть необходимая в первом случае интерполяция присутствует. Во втором случае чтобы воспользоваться теоремой 4.1 необходи-

мо перейти к тройки пространств

(Lp(0; +1); Lp(e( 1 q(r))t; (0; +1)); Lp(e( r q(r))t; (0; +1)));

которая отличается от исходной нормировкой весов. Тогда согласно теореме 4.1 оптимальным интерполяционным пространством является

'(r)( 1 q(r))

Lp(e 1 t; (0; +1)):

Так как q(r) " 0; то для любого сколь угодно малого " > 0 найдётся q(r); такой что

r q(r) < r + "

и

'(r)( 1 q(r)) > '(r) ":

1

Возьмём

" = '(r) r ;

2

94

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

тогда

r + " = '(r) ":

Следовательно, получаем

То есть интерполяция присутствует и во втором случае. Это доказывает теорему.

95