Matan_1_semestr_Lektsii
.pdf40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оглавление |
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
3 |
3x ¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Функция |
|
r |
|
|
|
|
|
|
элементарная, так как представима в |
|||||
|
|
4x + 1 |
|
|||||||||||
виде суперпозиции элементарной функции z = |
3x ¡ 2 |
и основной эле- |
||||||||||||
ментарной функции y = p3 |
|
. |
|
|
|
|
|
4x + 1 |
||||||
z |
|
|
cos 2x ¡ 7 |
|||||||||||
|
y = (x2 +3) sin3 |
|
||||||||||||
2. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
! элементарная, так как |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log2(x + 4) |
|||||
представлена через основные |
элементарные функции с помощью конеч- |
|||||||||||||
|
|
p |
ного числа арифметических операций и суперпозиций.
Функции, не выражаемые через основные элементарные описанным в определении 1.33 способом, называют неэлементарными. Неэлементарные функции существуют. Их примеры будут приведены позднее.
Задачи
1.Сформулировать отрицания утверждений: а) множество X ½ R ограничено сверху; б) множество X ½ R ограничено снизу;
в) множество X ½ R ограничено.
2.Для любых a; b > 1 найдется n 2 N такое, что an¡1 < b, an ¸ b. Доказать.
3. Пусть X ½ R, Y = f¡x : x 2 Xg. Доказать, что inf Y = ¡ sup X,
sup Y = ¡ inf X:
4.Пусть X ½ R; Y ½ R; Z = fx + y : x 2 X; y 2 Y g: Доказать равенства:
inf Z = inf X + inf Y; sup Z = sup X + sup Y:
5.Пусть R+ = fx 2 R : x > 0g; X ½ R+, Y ½ R+; Z = fxy : x 2 X; y 2 Y g. Доказать равенства:
sup Z = sup X ¢ sup Y; inf Z = inf X ¢ inf Y:
1. Введение в анализ |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
6. |
Пусть b > a > 0, X ½ [a; b]; Y = ½ |
|
: x 2 X¾. Доказать равенства: |
||||
x |
|||||||
|
sup Y = |
1 |
; inf Y = |
1 |
: |
||
|
|
sup X |
|||||
|
|
inf X |
|
||||
7. |
Пусть X ½ R; Y ½ R и Z = fx ¡ y : x 2 X; y 2 Y g: Доказать, что |
||||||
|
sup Z = sup X ¡ inf Y: |
|
8.Пусть X и Y непустые множества вещественных чисел такие, что: а) 8x 2 X и 8y 2 Y выполняется неравенство x · y;
б) 8" > 0 9 x" 2 X, y" 2 Y такие, что y" ¡ x" < ". Показать, что sup X = inf Y .
9.Найти inf M и sup M; если:
½ |
n + 1 |
2 |
|
2 N¾ |
½n + 1 |
3 |
|
2 N¾ |
|||
a) M = 1 + |
n |
cos |
n¼ |
: n |
|
; b) M = |
n ¡ 1 |
cos |
2n¼ |
: n |
: |
|
|
|
|
|
10.Доказать, что множество X не содержит ни наименьшего, ни наибольшего элемента и найти inf X и sup X; если:
a)X = fx 2 Q : x2 < 7g;
b)X = nmn : 0 < m < n; m 2 N; n 2 No:
11.Пусть f; g : X ! R и f(x) ¸ g(x) (x 2 X). Доказать, что
supff(x) : x 2 Xg ¸ supfg(x) : x 2 Xg;
infff(x) : x 2 Xg ¸ inffg(x) : x 2 Xg:
12.Пусть f; g : X ! R; f(x) ¸ g(x) (x 2 X), и supff(x) : x 2 Xg = +1; inffg(x) : x 2 Xg 6= ¡1: Доказать, что supff(x) + g(x) : x 2
Xg = +1:
13.Пусть f; g : X ! R; f(x) ¸ g(x) (x 2 X), и infff(x) : x 2 Xg = ¡1; supfg(x) : x 2 Xg 6= +1: Доказать, что infff(x) + g(x) : x 2 Xg =
¡1:
42 |
Оглавление |
14. Пусть функция f нечётная. Доказать, что infff(x)g = ¡ supff(x)g.
15. Существует ли функция f, являющаяся одновременно и чётной, и
нечётной?
16. Существует ли функция f, имеющая периодом любое положитель-
ное число T ?
17. Пусть f : |
R ![¡1; 1] определено равенством f(x) = sin x. Найти: |
|||||||||||||
a) f ³h¡6 |
; 3 i´; b) f |
µµ¡4 ; |
23 ¶¶; c) f¡1 µ2¶; |
|||||||||||
¼ |
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
¼ |
|
1 |
||
d) f¡1 Ã"¡ 23; |
2 |
!!; |
e) f¡1([¡1; 1]); |
f) f¡1((¡1; 1)). |
||||||||||
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.Пусть f : R+ ! R+ функция, ставящая в соответствие числу x его десятичное приближение с точностью " = 10¡6, то есть, если
x = a0; a1a2 : : : al : : :, то f(x) = a0; a1a2a3a4a5a6. Является ли функция f: а) инъекцией; б) сюръекцией?
Найти: a) f([1; 2)); b) f([2; 4]); c) f¡1(2; 71); d) f¡1([2; 3]).
19.Пусть f : X ! Y и A ½ X, B ½ X. Доказать, что:
a)f(A SB) = f(A) Sf(B); b) f(A TB) ½ f(A) Tf(B);
c)f(A n B) ½ f(A) n f(B).
20.Привести пример отображения f : X ! Y , для которого f(A TB) 6= f(A) Tf(B), A; B ½ X.
21.Пусть f : X ! Y и A ½ Y , B ½ Y . Доказать, что если A ½ B, то f¡1(A) ½ f¡1(B).
22.Пусть f : X ! Y и A ½ X, B ½ Y . Доказать, что:
a)A ½ f¡1(f(A)); b) f(f¡1(B)) = B.
23.Пусть f : X ! Y и A ½ Y , B ½ Y . Доказать,что:
a)f¡1(A SB) = f¡1(A) Sf¡1(B);
b)f¡1(A TB) = f¡1(A) Tf¡1(B);
c)f¡1(A n B) = f¡1(A) n f¡1(B).
1. Введение в анализ |
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
24. Какая из указанных функций f : [0; |
1] ! [0; 3]: |
|||||||||
a) f(x) = 3 sin |
¼x |
; |
b) f(x) = tg |
¼x |
; |
c) f(x) = 3x; |
||||
|
|
|||||||||
2 |
|
¶ |
4 |
|
3 |
µx ¡ 4¶ |
; f) f(x) = j3x¡1j |
|||
d) f(x) = 12 µx ¡ 2 |
; e) f(x) = 3¡ |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
16 |
1 |
|
2 |
инъективна, сюръективна или биективна?
44 |
Оглавление |
2Предел числовой последовательности
Операция предельного перехода основная операция математического анализа. Посредством предельного перехода определяются, например, дифференцирование, интегрирование, суммирование рядов. Мы начнём изучение этой операции с определения предела числовой последовательности и изучения его свойств.
2.1Числовые последовательности
Спонятием числовой последовательности читатель уже сталкивался в курсе элементарной математики. Арифметическая и геометрическая
прогрессии, десятичные приближения 1; 1; 4; 1; 41; : : : иррационального числа p2 являются примерами числовых последовательностей.
Дадим строгое определение последовательности и числовой последовательности.
Определение 2.1 Пусть X произвольное множество. Назовём последовательностью любое отображение f : N ! X. Если же X множество вещественных (R) или комплексных (C) чисел, или их подмножество, то последовательность будем называть числовой последовательностью.
В дальнейшем будем записывать значение x = f(n) в виде xn, а саму последовательность в виде (x1; x2; x3; : : : ; xn; : : :), или (xn)1n=1, или
(xn)n2N, или просто (xn). При этом xn будем называть n-м членом или просто членом последовательности.
Подчеркнём ещё раз, что последовательностью называется не произвольный ряд занумерованных чисел x1; x2; x3; : : : : Слова "последовательность (xn)" подразумевают, что известен закон, по которому для каждого n 2 N определяется член последовательности xn.
В этом разделе мы будем рассматривать только последовательности вещественных чисел, поэтому в дальнейшем, говоря "последователь-
2. Предел числовой последовательности |
45 |
ность", будем всегда подразумевать "вещественная числовая последовательность", хотя многое из сказанного будет справедливо и для комплексных числовых последовательностей, и для других последовательностей, которые будут рассматриваться позже. Однако, если какое-либо утверждение не переносится на последовательности более общего вида, то мы будем стараться отмечать это обстоятельство.
Приведём примеры числовых последовательностей. |
|||||||
1. |
µn |
¶ |
= |
µ1 ; 2 ; |
3 ; : : : ; |
n ; : : :¶; |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2.(1) = (1; 1; 1; : : : ; 1; : : :);
3.((¡1)n¡1) = (1; ¡1; 1; : : : ; (¡1)n¡1; : : :);
4.(an¡1) = (1; a; a2; : : : ; an¡1; : : :);
5.(sin n) = (sin 1; sin 2; sin 3; : : : ; sin n; : : :).
Определение 2.2 Последовательность (xn) будем называть стационарной, если существует такой номер n0, что xn = xn0 при n ¸ n0.
Таким образом, после переобозначения xn0 = a, стационарная последовательность имеет следующий вид: (x1; x2; x3; : : : ; xn0¡1; a; a; : : : ; a; : : :).
Из приведённых выше примеров стационарной является последовательность из примера 2.
Определение 2.3 Последовательность (xn) будем называть: а) ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех n 2 N
выполняется неравенство xn · M; б) ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех n 2 N выполняется неравенство xn ¸ m; с) ограниченной, если она ограничена как сверху так и снизу.
Последовательности из приведённых выше примеров 1, 2, 3, 5 ограничены. Последовательность из примера 4 ограничена, если jaj · 1, неограничена сверху, если a > 1 и неограничена, если a < ¡1.
Для ограниченных последовательностей справедлива лемма, аналогичная по содержанию лемме 1.2 для множеств.
46 Оглавление
Определение 2.4 Пусть даны последовательности (xn)n2N и (yn)n2N. Определим сумму, разность, произведение и частное двух последовательностей и произведение последовательности на постоянную (число) следующим образом:
|
|
|
|
def |
|
a) (xn)n2N + (yn)n2N = (xn + yn)n2N; |
|||||
|
|
|
|
def |
|
b) (xn)n2N ¡ (yn)n2N = (xn ¡ yn)n2N; |
|||||
|
|
|
|
def |
|
c) (xn)n2N ¢ (yn)n2N = (xn ¢ yn)n2N; |
|||||
d) (yn)n2N |
= |
µ |
¶ |
: |
|
|
(xn)n2N |
def |
|
xn |
|
def
e) c(xn)n2N = (cxn)n2N:
В случае частного, естественно, следует требовать, чтобы выполнялось условие yn =6 0 (n 2 N).
А теперь сформулируем основополагающее для всего курса определение предела последовательности.
Определение 2.5 Пусть дана числовая последовательность (xn)n2N. Число a назовём пределом последовательности (xn), если для любого положительного числа " существует такой номер n0, что для всех номеров n ¸ n0 выполняется условие
jxn ¡ aj < ": |
(2.19) |
Если существует предел a последовательности (xn), то будем гово-
рить, что последовательность (xn) сходится к a, и писать lim xn = a или
n!1
xn ¡¡¡! a. Если же предел последовательности (xn) не существует, то
n!1
будем говорить, что она расходится.
Замечание 2.1 Как следует из определения предела последовательности, номер n0, начиная с которого неравенство 2.19 заведомо выполняется, зависит от ". Когда бывает необходимо особо подчеркнуть это обстоятельство, пишут n0 = n0("). Вообще говоря, если " стремится к нулю, то n0 возрастает до бесконечности.
2. Предел числовой последовательности |
47 |
Замечание 2.2 Так как неравенство jx ¡ aj < " задаёт "-окрестность точки a, то определение предела последовательности имеет следующий геометрический смысл: все члены сходящейся к a последовательности, начиная с номера n0("), располагаются в U"(a).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.1 Стационарная последовательность
(x1; x2; x3; : : : ; xn¡1; a; a; : : : ; a; : : :)
сходится к a, потому что для любого " > 0 при n ¸ n0 имеем:
jxn ¡ aj = ja ¡ aj = 0 < ":
Пример 2.2 Рассмотрим последовательность µ |
1 |
|
¶n N и покажем, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
что lim |
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n!1 n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Выберем любое " > 0 и решим неравенство |
< ". Получим n > |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
" |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Положим n0 = · |
1 |
¸ + 1. Тогда, если n ¸ n0, то n > |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
, поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||
" |
" |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
¯n |
¡ 0¯ |
= n < ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¯ |
1 |
¯ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению предела это означает, что lim |
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.3 Последовательность (1 + (¡1)n)n2N расходится.
Решение. Заметим, что члены последовательности попеременно принимают значения 0 и 2. Поэтому, если a любое вещественное число, а
" < 1, то не найдётся такого n0, начиная с которого все xn принадлежат
U"(a). Действительно, если бы такой номер существовал, то при n ¸ n0
и xn, и xn+1 принадлежали бы U"(a), поэтому расстояние между ними должно было бы быть меньше 2" < 2 (2" длина окрестности). Но это невозможно, так как всегда jxn ¡ xn+1j = 2.
Номер n0, начиная с которого неравенство 2.19 начинает выполняться, далеко не всегда удаётся найти точно, да это, по определению предела
48 |
Оглавление |
последовательности, и не требуется. Обычно с помощью оценок находят
такое значение n0, что при n ¸ n0 неравенство 2.19 заведомо выполняется, а что будет при n < n0, согласно определению предела последова-
тельности, знать не требуется. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.4 Доказать, что lim |
2n2 + 3n + 6 |
|
= |
2 |
. |
||
|
|
|
|
||||
3n2 ¡ 2n + 1 |
3 |
||||||
n!1 |
|
|
Решение. Выберем произвольно " > 0, напишем неравенство
jxn ¡ aj = |
¯ |
3n2 |
¡ |
2n + 1 ¡ |
3 |
¯ |
< " |
|
|
¯ |
2n2 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
и укажем номер n0, начиная с которого оно заведомо выполняется. Для
начала левую часть неравенства упростим. |
|
|
|
|
|
2n + 1) : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¯ |
3n2 |
¡ |
2n + 1 ¡ 3 |
¯ |
= ¯ |
3(3n2 |
¡ |
2n + 1)¯ = |
3(3n2 |
¡ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
¯ |
2n2 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||
Как нетрудно¯ |
проверить,¯ |
13n¯ + 16 < 18n при¯n ¸ 4, а 3n ¡ 2n + 1 > 2n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при n ¸ 2. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
2n2 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
3n2 |
|
2n + 1 |
¡ |
3 |
¯ = |
3(3n2 |
|
|
|
2n + 1) |
< |
6n2 |
= |
n |
: |
|
||||||||||||||||||||||
при n ¸ 4. ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя полученную оценку, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
3n2 |
¡ |
2n + 1 ¡ |
3 |
¯ |
< n < " |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при n > |
|
|
. Остаётся положить n0 = max ½4; · |
|
|
¸ + 1¾ и убедиться, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
" |
" |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при n ¸ n0 неравенство |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
+ 3n + 6 |
|
|
|
|
|
2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
3n2 |
|
2n + 1 |
¡ |
|
3 |
¯ < " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняется.
p
Пример 2.5 Доказать, что lim n a = 1 (a > 0).
n!1
Решение. Для доказательства нам потребуется неравенство Бернулли
(1 + x)n ¸ 1 + nx; |
(2.20) |
2. Предел числовой последовательности |
49 |
справедливое при n 2 N и x > ¡1.
Докажем его методом математической индукции.
1)При n = 1 неравенство Бернулли принимает вид 1 + nx ¸ 1 + nx, следовательно, выполняется.
2)Пусть для некоторого n 2 N неравенство Бернулли справедливо. Покажем, что оно выполняется и для следующего значения n, то-есть, если (1 + x)n ¸ 1 + nx, то и (1 + x)n+1 ¸ 1 + (n + 1)x.
Имеем:
(1+x)n+1 = (1+x)(1+x)n ¸ (1+x)(1+nx) = 1+(n+1)x+nx2 ¸ 1+(n+1)x :
и неравенство Бернулли доказано.
Приступим к решению примера. Рассмотрим два случая: a > 1 и
a < 1 (третий случай: a = 1 – тривиален).
p
Пусть a > 1. Тогда, очевидно, и n a > 1, поэтому его можно запи-
p
сать в виде n a = 1 + ®n, где ®n > 0. Возведя обе части в степень n и
воспользовавшись неравенством Бернулли, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (1 + ®n)n ¸ 1 + n®n ; |
|
|
|
||||||||||||
или |
® |
n · |
a ¡ 1 |
. Выберем произвольно и зафиксируем |
" > 0 |
и положим |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
= |
· |
a ¡ 1 |
¸ |
+ 1 |
. Тогда, если |
n |
|
n |
0, то |
n > a ¡ 1 |
, поэтому |
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
¸ |
|
n · |
|
|
" |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
pa |
¡ ¯ |
|
|
¡ |
1 = ® |
|
|
n |
|
|
< " ; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = pa |
|
|
a |
¡ |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
n |
¯ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в случае a > 1 требуемое утверждение установлено. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть теперь 0 < a < 1. Положим b = |
1 |
: Тогда b > 1, поэтому, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
выбрав по " > 0 номер n0 так же, как и выше, при n ¸ n0 будем иметь: |
|||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
b ¡ 1 < ". Но тогда при n ¸ n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
¡ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
b 1 |
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
pa |
¡ |
pa = 1 |
¡ pb |
= |
pb |
< b |
¡ |
1 < " ; |
||||||||||||||
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
Начнём изучение свойств сходящихся последовательностей.