Matan_1_semestr_Lektsii

Договоримся поэтому считать любую функцию непрерывной в каждой изолированной точке множества X, на котором она определена, и, говоря о непрерывности функции в точке a, не упоминать без необходимости, является точка a предельной или же изолированной.

Пусть для точки a выполнены условия, оговоренные в определениях односторонних пределов функции f (или одного из них).

Определение 3.25 Будем говорить, что функция f непрерывна в точке a слева (справа), если левый (правый) предел функции в точке a существует и равен f(a), то есть,

Из связи между пределом функции в точке и односторонними пределами вытекает следующее утверждение: функция f непрерывна в точке a в том и только том случае, если она непрерывна в этой точке и слева и справа, то есть, если f(a ¡ 0) = f(a + 0) = f(a).

Определение 3.26 Будем говорить, что функция f непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Пример 3.14 Функции f(x) = c, xn (n 2 N), P (x), R(x) непрерывны всюду в естественной области определения.

Это следует из примеров 3.1, 3.8, 3.9, 3.10.

Пример 3.15 Функция sgn x непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = 0, в которой все три числа: f(0), f(¡0) и f(+0)

различны (см. пример 3.5).

Пример 3.16 Функция Дирихле D(x) не является непрерывной ни в одной точке области определения, так как не имеет предела (см. пример 3.4).

Покажем это.

Если a = 0; 5, то f(a) = 0; 5. Возьмём любое положительное "(< 0; 5), положим ± = " и рассмотрим любое x: jx ¡ 0; 5j < ±. Тогда, если x

рационально, то f(x) = x, поэтому

jf(x) ¡ f(a)j = jx ¡ 0; 5j < ± = ";

если же x иррационально, то f(x) = 1 ¡ x, и поэтому

jf(x) ¡ f(a)j = j1 ¡ x ¡ 0; 5j = jx ¡ 0; 5j < ± = "

Таким образом, непрерывность функции в точке a = 0; 5 доказана. Если a =6 0; 5, то возьмём " = ja ¡ 0; 5j и любое положительное ± < ". Пусть a рациональное. Тогда f(a) = a. Возьмём иррациональное x,

такое что jx ¡ aj < ±. Тогда f(x) = 1 ¡ x и

jf(x) ¡ f(a)j = j1 ¡ x ¡ aj = j1 ¡ (a + x ¡ a) ¡ aj =

= j(1 ¡ 2a) ¡ (x ¡ a)j > j1 ¡ 2aj ¡ jx ¡ aj > 2" ¡ ± > ":

Так как условие непрерывности Коши в точке a не выполняется, то функция в этой точке не является непрерывной.

Случай иррационального a рассматривается аналогично.

Точки разрыва и их классификация

Пусть X ½ R, f : X ! R и a 2 X0.

Определение 3.27 Назовём точку a точкой разрыва функции f, если в этой точке функция f не является непрерывной.

Если a точка разрыва функции f, то представляются возможными три случая:

1)a 62X (точка a не принадлежит области определения);

2)a 2 X, но lim f(x) не существует;

x!a

3) a 2 X, lim f(x) существует, но не равен f(a).

x!a

Классификацию точек разрыва проведём, предполагая, что существу-

±

ет проколотая окрестность U± (a) точки разрыва, содержащаяся в области определения X функции f. Различают: точки устранимого разрыва, точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Определение 3.28 Точка разрыва x = a функции f называется точ-

кой устранимого разрыва, если lim f(x) существует, но функция f либо

x!a

не определена в точке a, либо lim f(x) =6 f(a).

x!a

Пример 3.18 Пусть f(x) = sinx x (x =6 0).

Так как мы знаем (первый замечательный предел), что lim sin x = 1,

x!0 x

но функция в точке x = 0 не определена, то x = 0 точка устранимого разрыва.

Название точка устранимого разрыва объясняется следующими обстоятельствами. Пусть a точка устранимого разрыва функции f, то

Функция f1(x) в точке x = a непрерывна. Таким образом, разрыв в точке a устраняется доопределением или переопределением функции в точке a.

В рассмотренном выше примере, чтобы не было разрыва в точке x =

Определение 3.29 Точка разрыва x = a функции f называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f имеет конечные пределы слева и справа, но

lim f(x) =6 lim f(x):

x!a¡0 x!a+0

Пример 3.19 Для функции sgn x точка x = 0 является точкой разрыва первого рода (см. пример 3.5).

Пример 3.20 Рассмотрим функцию f(x) = sinjxjx (x =6 0).

У этой функции a = 0 точка разрыва. Чтобы установить, какая

Так как пределы оба существуют, конечны, но различны, то делаем вывод, что a = 0 точка разрыва первого рода.

Определение 3.30 Точка разрыва x = a функции f называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой устранимого разрыва или точкой разрыва первого рода.

Таким образом отдельно выделяют точки устранимого разрыва и точки разрыва первого рода, а все остальные точки разрыва называют точками разрыва второго рода.

Определение 3.32 Не убывающие, возрастающие, не возрастающие и убывающие на промежутке X функции будем называть функциями, монотонными на промежутке X, а возрастающие и убывающиестрого монотонными.

Пример 3.24 Функция y = x2 возрастает на [0; +1), но не является монотонной на R.

Пример 3.25 Функция y = sin x возрастает на промежутках

h¡¼2 + 2¼k; ¼2 + 2¼ki, убывает на промежутках ·¼2 + 2¼k; 32¼ + 2¼k¸, k 2 Z, и не является монотонной ни на каком промежутке, длина которого больше ¼.

Пример 3.26 Функция y = sgn x не убывает на R, а функция y = x + sgn x возрастает на R.

Пример 3.27 Функция y = [x] не убывает на R.

Монотонные функции обладают рядом хороших качеств, к изучению которых мы сейчас приступим.

Теорема 3.21 Монотонная на отрезке [a; b] функция f в каждой внутренней точке c отрезка [a; b] имеет предельные значения слева и справа, в точке a имеет правый предел и в точке b левый предел.

Доказательство. Пусть функция f не убывает на [a; b] и c 2 (a; b]. Докажем, что в точке c существует левый предел функции f.

Рассмотрим множество Yc = ff(x) : a · x < cg. Это множество не пусто (f(a) 2 Yc) и ограничено сверху (если x 2 [a; c), то f(x) · f(c)). В таком случае по теореме о существовании точной верхней грани (теорема

1.1) существует b = sup Yc(· f(c)). Покажем, что b = lim f(x).

x!a¡0

Возьмём произвольное " > 0. По свойствам точной верхней грани найдётся x0 2 [a; c) такое, что b ¡ " < f(x0) · b. Положим ± = c ¡ x0. Так

как x0 < c, то ± = c ¡x0 > 0. Если теперь возьмём любое x : c ¡± < x < c, то имеем очевидную цепочку неравенств:

b ¡ " < f(x0) · f(x) · b < b + ";

из которой следует, что jf(x) ¡ bj < ", если c ¡ ± < x < c. Тем самым

установлено (см. определение 3.12), что b = f(c¡0) = lim f(x), причём

x!c¡0

f(c ¡ 0) · f(c).

Доказательство существования правого предела и доказательство существования обоих односторонних пределов для невозрастающей функции проводятся аналогично, поэтому предоставляются читателям.

Следствие 3.5 Монотонная на отрезке [a; b] функция может иметь на нём только точки разрыва первого рода.

Доказательство. Пусть c внутренняя точка отрезка [a; b]. Так как в точке c оба односторонних предела существуют и конечны, она не может быть точкой разрыва второго рода. Точка c не может быть и точкой устранимого разрыва, потому что из доказательства теоремы следует, что f(c) содержится между f(c ¡ 0) и f(c + 0), поэтому, если f(c ¡ 0) = f(c+0), то f(c) = f(c¡0) = f(c+0) и c точка непрерывности функции. Следовательно, если c точка разрыва, то первого рода.

Теорема 3.22 Пусть функция f монотонна на отрезке [a; b], f(a) = ®, f(b) = ¯. Функция f непрерывна на [a; b] тогда и только тогда, когда f([a; b]) = [®; ¯], другими словами, когда f принимает все промежуточные между f(a) и f(b) значения.

Доказательство. Доказательство проведём для неубывающей на [a; b]

функции. Для невозрастающей функции доказательство проводится аналогично.

Необходимость. Пусть f непрерывна на [a; b] и ° любое, удовлетворяющее условию ® < ° < ¯, число. Нужно доказать существование c 2 (a; b) такого, что f(c) = °.

из неравенств: либо f(x) · °, либо f(x) > °.

2. Множество X0 располагается левее множества X00.

Это следует из предположения о неубывании функции f.

Из этих двух свойств вытекает, что правая граница sup X0 множества

X0 совпадает с левой границей inf X00 множества X00. Обозначим общую границу множеств X0 и X00 буквой c и покажем, что f(c) = °.

По предыдущей теореме в точке c определены левый f(c¡0) и правый f(c + 0) пределы. Так как при x < c справедливо f(x) · °, то по теореме 3.12 о предельном переходе в неравенстве f(c ¡ 0) = lim f(x) · °. Рассуждая аналогично, найдём, что f(c + 0) ¸ °. Итак, f(c ¡ 0) · ° · f(c + 0). Но по условию функция f непрерывна в точке c, поэтому f(c ¡

0) = f(c + 0) = f(c). Сравнивая эти два условия, получаем, что f(c) = °.

Достаточность. Предположим, что функция f не убывает на [a; b], принимает все промежуточные между f(a) = ® и f(b) = ¯ значения, но не является непрерывной на [a; b]. Тогда найдётся точка разрыва c

функции f.

Если c внутренняя точка [a; b], то по следствию из предыдущей теоремы она является точкой разрыва первого рода, следовательно, f(c¡

0) < f(c+ 0). Так как f(c) находится между левым и правым пределами, то либо f(c ¡ 0) < f(c), либо f(c) < f(c + 0). Допустим первое. В таком случае функция f не может принимать значений, расположенных между f(c ¡ 0) и f(c), потому что если x < c, то f(x) · f(c ¡ 0), а если x > c, то f(x) ¸ f(c).

Если c = a, то f(a) < f(a + 0) (в противном случае функция была бы непрерывна в точке a). Так как при x > a f(x) ¸ f(a + 0), то функция f

не может принимать значений, расположенных между f(a) и f(a + 0).

(на множестве X), то сумма f + g, разность f ¡ g, произведение f ¢ g

и частное f=g (при дополнительном условии g(a) =6 0 (g(x) =6 0 на X)) непрерывны в точке a (на множестве X).

Доказательство. Так как непрерывность на множестве есть непрерывность в каждой точке множества, то достаточно доказать непрерывность в точке. Остановимся на доказательстве непрерывности частного.

Если g(a) =6 0, то по теореме о сохранении знака (теорема 3.8) существует окрестность U±(a) точки a, в которой g(x) =6 0, следовательно, по крайней мере в этой окрестности частное f=g определено. Далее приме-

x!a

Следствие 3.6 Если функция f : X ! R непрерывна в точке a 2 X

(на множестве X) и c 2 R, то функция cf непрерывна в точке a (на множестве X).

Теорема 3.25 (непрерывность суперпозиции) Пусть функция f :

X ! Y (X; Y ½ R) непрерывна в точке a множества X (на множестве

X), функция g : Y ! R непрерывна в точке b = f(a) множества Y (на множестве Y ). Тогда функция F : X ! R, F (x) = g(f(x)) (x 2 X)

(суперпозиция функций f и g) непрерывна в точке a (на множестве

X).

Доказательство. Для доказательства теоремы используем определение непрерывности функции по Гейне. Пусть (xn) ½ X, xn ! a. Тогда в силу непрерывности функции f в точке a последовательность yn = f(xn) ! b = f(a). Так как функция g непрерывна в точке b, а последовательность yn ! b, то g(yn) ! g(b). Но тогда

F (xn) = g(f(xn)) = g(yn) ! g(b) = g(f(a)) = F (a)