Matan_1_semestr_Lektsii

:

Существование и равенство нулю при x = 0 всех последующих про-

изводных проверяется аналогично. Как нетрудно заметить, производная

любого порядка функции f(x) при x 6= 0 имеет вид

f(l)(x) = P µ1 ¶ x

где P некоторый многочлен. Тогда, вычисляя f(l+1)(0), делаем ту же

Таким образом, точка x = 0 для рассматриваемой функции, очевидно, точка локального минимума, но с помощью третьего достаточного условия экстремума этого установить нельзя.

Наименьшее и наибольшее значения функции

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда по второй теореме Вейерштрасса (теорема 3.36) она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений, однако указать точки, в которых указанные значения достигаются, и сами эти значения для функции, которая только лишь непрерывна, крайне затруднительно, а то и вовсе невозможно. Но если функция дифференцируема на отрезке за исключением, быть может, отдельных точек, то задача становится вполне решаемой.

Итак, пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на нём за исключением, может быть, нескольких точек. Наибольшее и наименьшее значения она может принять или на конце отрезка, или во внутренней его точке. В последнем случае по теореме Ферма (теорема 4.11) в этой точке её производная или не существует, или равна нулю. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке поступаем следующим образом: а) находим точки, в которых производная функции не определена; б) находим точки, в которых производная функции равна нулю; в) присоединяем к найденным точкам концы отрезка; г) вычисляем во всех полученных точках значение функции; д) выбираем из вычисленных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 4.47 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = jxj(x2 ¡ 2x ¡ 3) + jx ¡ 1j(x2 ¡ 9)

на отрезке [¡2; 3].

Решение. Данная функция не дифференцируема в точках x1 = 0 и x2 = 1 (см. пример 4.5). Найдём точки, в которых производная равна нулю.

1) Пусть x 2 (¡2; 0). Тогда

y = ¡x(x2 ¡ 2x ¡ 3) ¡ (x ¡ 1)(x2 ¡ 9) = ¡2x3 + 3x2 + 12x ¡ 9;

y0 = ¡6x2 + 6x + 12 = ¡6(x2 ¡ x ¡ 2):

Как нетрудно видеть, y0 = 0 при x3 = ¡1. 2) Пусть x 2 (0; 1). Тогда

y = x(x2 ¡ 2x ¡ 3) ¡ (x ¡ 1)(x2 ¡ 9) = ¡(x ¡ 3)2;

y0 = ¡2(x ¡ 3)

не обращается в ноль на (0; 1). 3) Пусть x 2 (1; 3). Тогда

y = x(x2 ¡ 2x ¡ 3) + (x ¡ 1)(x2 ¡ 9) = 2x3 ¡ 3x2 ¡ 12x + 9;

y0 = 6x2 ¡ 6x ¡ 12 = 6(x2 ¡ x ¡ 2):

Как нетрудно видеть, y0 = 0 при x4 = 2.

К найденным точкам x1; x2; x3; x4 добавим концы отрезка и подсчитаем значения функции во всех шести точках. Результаты вычислений сведём в следующую таблицу.

Сравнивая полученные значения, находим, что данная функция достигает наибольшего значения ymax = 7 в точке x = ¡2 и наименьшего значения ymin = ¡16 в точке x = ¡1.

Если функция f задана на незамкнутом промежутке, конечном или бесконечном, то, как показывают примеры к первой и второй теоремам Вейерштрасса (теоремы 3.35, 3.36), она может не достигать наибольшего и (или) наименьшего значений и даже быть неограниченной. Для решения задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений в таком случае следует, как и выше, найти точки возможного экстремума и исследовать поведение функции при приближении аргумента к концам промежутка.

Пример 4.48 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = (x2 ¡ 5x + 7)e¡jx¡2j

на промежутке (0; +1).

Решение. Рассматриваемая функция непрерывна на указанном промежутке и дифференцируема на нём всюду, кроме точки x1 = 2. Раскроем модуль, продифференцируем и найдём стационарные точки функции.

1) Пусть x 2 (0; 2). Тогда

y = (x2 ¡ 5x + 7)ex¡2;

y0 = (x2 ¡ 3x + 2)ex¡2:

Врассматриваемом интервале y0 = 0 при x2 = 1.

2)Пусть x 2 (2; +1). Тогда

y = (x2 ¡ 5x + 7)e¡(x¡2);

y0 = ¡(x2 ¡ 7x + 12)e¡(x¡2):

На этом промежутке y0 = 0 при x3 = 31 и x4 = 4.

Вычислим значения функции во всех отмеченных точках. Имеем: y(1) = 3e¡1, y(2) = 1, y(3) = 2e¡1, y(4) = 3e¡2.

Найдём предельные значения функции при стремлении x к концам заданного промежутка.

y(+0) = lim (x2 ¡ 5x + 7)e¡jx¡2j = 7e¡2:

x!+0

y(+1) = lim (x2 ¡ 5x + 7)e¡jx¡2j = 0

x!+1

(предел находится с применением правила Лопиталя). Сравнивая все полученные значения, приходим к выводу, что

ymax = y(1) = 3e¡1 ¼ 1; 104, а inffy(x) : x 2 (0; +1)g = 0 не достигается.

4.6Выпуклые функции

Пусть функция f непрерывна на промежутке X. Возьмём любые две различные точки x1 и x2 промежутка X и положим y1 = f(x1), y2 = f(x2).

Определение 4.14 Отрезок, соединяющий любые две точки M1(x1; y1)

и M2(x2; y2) графика функции f, будем называть хордой.

Выведем параметрические уравнения хорды. Как известно, уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), имеет вид

Обозначим общее значение отношений, стоящих в левой и правой частях этого равенства, буквой t. Тогда одновременно имеем

x ¡ x1 = t(x2 ¡ x1); y ¡ y1 = t(y2 ¡ y1);

или

x = x1 + t(x2 ¡ x1); y = y1 + t(y2 ¡ y1);

или, после перегруппировки,

x = (1 ¡ t)x1 + tx2; y = (1 ¡ t)y1 + ty2:

Из этих уравнений при t = 0 получается точка M1, при t = 1 точка

M2, и, в силу линейности обоих уравнений, при изменении t от 0 до 1

точка M(x; y) будет пробегать отрезок M1M2.

Итак, параметрические уравнения хорды M1M2 имеют вид

Определение 4.15 Непрерывную на промежутке X функцию будем называть:

a) выпуклой, если её график располагается не выше хорды, соединяющей любые две точки графика;

b) строго выпуклой, если её график располагается ниже любой хор-

ды;

c) вогнутой, если её график располагается не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика;

d) строго вогнутой, если её график располагается выше любой хорды.

Иногда выпуклые функции называют функциями, обращёнными выпуклостью вниз, а вогнутые функциями, обращёнными выпуклостью вверх.

Лемма 4.2 Пусть функция f непрерывна на промежутке X. Пусть x1; x2 любые точки промежутка X и t любое число из интервала

(0; 1). Тогда:

a) функция f выпукла на промежутке X тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

b) функция f строго выпукла на промежутке X тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

c) функция f вогнута на промежутке X тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

d) функция f строго вогнута на промежутке X тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

Доказательство. Все четыре утверждения доказываются совершенно аналогично, поэтому остановимся на доказательстве только первого из них.

Выберем произвольно x1; x2 2 X и t 2 (0; 1). Проведём хорду через точки M1(x1; f(x1)), M2(x2; f(x2)) графика функции f. Положим x = (1 ¡ t)x1 + tx2, y = (1 ¡ t)f(x1) + tf(x2). Точка M(x; y) (см. (4.127)) лежит на хорде M1M2. Если функция f выпуклая, то точка (x; f(x))

графика функции располагается не выше точки M(x; y), следовательно, f(x) · y, что совпадает с (4.128). Наоборот, если выполнено (4.128), то это означает, что точка (x; f(x)) графика функции располагается не выше точки M(x; y) хорды, следовательно, функция f выпуклая.

Придадим необходимому и достаточному условию выпуклости функции (4.128) иную форму. Пусть x1; x2 (x1 < x2) любые точки промежутка X и x любая точка из интервала (x1; x2), то есть, x1 < x < x2. Как

226 Оглавление

следует из вывода параметрических уравнений хорды, точке x отвечает

Перепишем условие выпуклости (4.128) в виде

(1 ¡ t + t)f(x) · (1 ¡ t)f(x1) + tf(x2) ;

или

(1 ¡ t)(f(x) ¡ f(x1)) · t(f(x2) ¡ f(x)) ;

Аналогично при том же условии x1 < x < x2 (x1; x2 2 X) условие

Теорема 4.29 (Первый критерий выпуклости (вогнутости))

Пусть функция f дифференцируема на промежутке X. Тогда f выпукла на промежутке X в том и только том случае, если её производная f0 на промежутке X не убывает, и вогнута, если f0 не возрастает.

Доказательство. Остановимся на доказательстве первого из утверждений. Второе доказывается аналогично.

Пусть f выпукла на промежутке X. Тогда для неё выполняется условие (4.132). Если в этом условии устремить x к x1, то получим f0(x1) ·

f0(x2). Отсюда следует, что если x1 < x2, то f0(x1) · f0(x2), то есть, необходимая часть утверждения теоремы.

Пусть теперь производная f0 не убывает на промежутке X. Возьмём любые точки x1; x2 2 X, x1 < x2, и любое x 2 (x1; x2), то есть, x1 < x < x2. Так как функция f дифференцируема, а значит, и непрерывна на промежутке X, то к отрезкам [x1; x] и [x; x2] можно применить теорему Лагранжа (теорема 4.13), согласно которой f(x) ¡ f(x1) = f0(»1)(x ¡ x1),

»1 2 (x1; x) и f(x2) ¡ f(x) = f0(»2)(x2 ¡ x), »2 2 (x2; x). Перепишем эти

Итак, для функции f выполняется условие 4.132, поэтому она выпуклая. Достаточность, а вместе с ней и теорема, доказаны.

Замечание 4.12 Требование существования производной на концах промежутка X в этой теореме и ниже не обязательно и присутствует лишь ради простоты формулировки. При доказательстве достаточности оно вообще не используется, а при доказательстве необходимости в качестве x1 и x2 концы промежутка X можно не брать.

Следствие 4.9 (Критерий строгой выпуклости (вогнутости)) Пусть функция f дифференцируема на промежутке X. Тогда f строго выпукла на промежутке X в том и только том случае, если её производная f0 на промежутке X возрастает, и вогнута, если f0 убывает.

Доказательство. Докажем первую часть утверждения. Доказательство второй части проводится аналогично.

228 Оглавление

Пусть функция f строго выпукла на промежутке X. Тогда она удовлетворяет условию 4.133. Возьмём любые три точки x0; x1; x2 (x1 < x0 <

Теперь возьмём любое x так, чтобы выполнялось условие x1 < x < x0, напишем для тройки x1; x; x0 условие 4.133

Аналогично, выбрав x между x0 и x2, написав для тройки x0; x; x2 условие 4.133 и перейдя к пределу при x ! x2, получим неравенство

из которой вытекает, что f0(x1) < f0(x2) для любых x1; x2 2 X, x1 < x2, а это означает, что производная f0 возрастает на промежутке X.

Доказательство достаточности проводится точно так же, как в самой

теореме, но только теперь f0(»1) < f0(»2), поэтому и

Доказанная теорема позволяет для дифференцируемых функций дать другое определение выпуклости (вогнутости).

Определение 4.16 Дифференцируемую на промежутке X функцию f

назовём:

a) выпуклой на промежутке X, если её график расположен не ниже касательной, проведённой к графику в каждой точке промежутка;

b) строго выпуклой на промежутке X, если её график расположен выше касательной, проведённой к графику в каждой точке промежутка;

c) вогнутой на промежутке X, если её график расположен не выше касательной, проведённой к графику в каждой точке промежутка;

d) строго вогнутой на промежутке X, если её график расположен ниже касательной, проведённой к графику в каждой точке промежутка.

Лемма 4.3 Определения 4.15 и 4.16 выпуклой (вогнутой) функции эквивалентны.

Доказательство. Пусть x0 произвольно выбранная внутренняя точка промежутка X. Напишем уравнение касательной к графику функции f

в этой точке (см. (4.56)).

С другой стороны, возьмём любую точку x =6 x0 промежутка X и

напишем для отрезка [x; x0] формулу Лагранжа (см. (4.81)).

Вычтем (4.139) из (4.140). Тогда

Если функция f выпуклая по первому определению, то её производная есть неубывающая функция, поэтому обе скобки в правой части (4.141) имеют одинаковый знак (первая может обращаться в нуль), следовательно, f(x) ¡ y ¸ 0, или f(x) ¸ y. Последнее означает, что график функции располагается не ниже касательной, поэтому функция f выпуклая по второму определению.