_Локалова Н.П., Школьная неуспеваемость

по классу), и предмет беседы — перед глазами, что толкает ребенка к привычным для него формам краткой устной речи.

Сказанное нами вовсе не означает, что полные ответы нужно изгнать из школы. Они необходимы, но на своем месте. Приучать детей к употреблению грамматически оформленных развернутых предложений нужно, прежде всего, для того, чтобы они практически расчленяли свою речь и строили тот тип предложения, с которым им приходится иметь дело при изучении грамматики. Если дети не знают и не умеют практически строить грамматически развернутое предложение, то они не будут готовы к письменной речи. Но если учитель будет требовать от ребенка полных ответов на каждом шагу, то это принесет вред и самой письменной речи: она будет развернутой и точной до абсурда.

Не раз подчеркивая психологические преимущества письменной речи над устной, мы на протяжении своего исследования неоднократно упоминали о больших трудностях, связанных с овладением ею. Эти трудности, обусловленные психологической природой письменной речи (абстрактностью, произвольностью, иной связью с мышлением), диктуют необходимость очень осторожного подхода к детскому письму. Нельзя давать детям на первых порах трудные и отвлеченные темы для сочинений, так как письменная речь и без того по своей природе — речь абстрактная. Путь развития письменной речи надо сделать таким, чтобы эта тенденция к абстрактности сглаживалась, чтобы дети в своих письменных высказываниях умели одновременно и опираться на внутреннюю речь, и проверять ее данные наглядным материалом живой действительности. Нельзя давать детям задание написать сочинение на ту или иную тему только на том основании, что они справились с аналогичной задачей устно. Непосредственный переход от устного сочинения к письменному не оправдывается данными нашего исследования. Этот переход можно осуществлять на первых порах с помощью даваемого детям плана-вопросника или картинок, играющих роль плана, и т. п. Мы знаем также из нашего экспериментального материала, что и другие виды готовой словесной продукции (письмо товарища, которому надо ответить, и т. д.) облегчают самостоятельное письмо детей и могут широко применяться в связи с работами над деформированными текстами.

Нельзя забывать, однако, и того, что в старших классах начальной школы готовые «вехи», планы начинают сковывать детей. Несомненно, это надо вовремя почувствовать и дать детям (даже в индивидуальном порядке) больше самостоятельности. Данные наших экспериментов со «сплавами слов» и с сочинениями «Как я зиму (лето) провожу...» показали, что ученики III–IV классов в письменной форме уже начинают овладевать

внутренним планом своей речи. Поэтому держать их всегда только на письменных работах, облегченных планом, безусловно, нельзя.

Чуприкова Н. И. В. А. Крутецкий и его книга

оматематических способностях школьников1

Вкниге В. А. Крутецкого представлена обширная система полученных им экспериментальных результатов. Если посмотреть на эти результаты глазами современного психолога, то можно увидеть, что сквозь них красной нитью проходят свидетельства об одной, возможно, самой главной базисной математической способности или базисной предпосылке большого спектра более частных способностей. Это способность мыслить логико-математическими структурами, структурами, схемами логико-математических отношений, отделенными, отвлеченными от их конкретного «чувственно-наглядного» воплощения, так сказать, «чистыми» структурами отношений. В арифметике это логико-математиче- ские схемы-структуры задач, отделенные от их конкретного предметного содержания, в алгебре это абстрактные логико-математические схемы-структуры, отделенные от их конкретной знаковой формы, в геометрии — абстрактные пространственные схемы, отделенные от конкретного пространственного воплощения. (Под логико-математически- ми структурами применительно к данным, полученным В. А. Крутецким, мы имеем в виду инвариантные системы отношений и связей между элементами самих задач и инвариантные логико-математические схемы их закономерных последовательных переструктурирований в процессах решения задач или доказательства.) В этом отношении результаты труда В. А. Крутецкого могут рассматриваться как подтверждение и развитие известного положения Дункера, сформулированного на основе анализа решений геометрических задач и доказательств, что плохой математик отличается от хорошего тем, что у него мыслимое содержание очень сильно привязано к определенным перцептивным структурам и поэтому не может быть должным образом проанализировано и закреплено само по себе. Но то, что у Дункера было только намечено в самом первом приближении, получило у В. А. Крутецкого всестороннее экспериментальное обоснование, причем не только на материале геометрии, но также арифметики и алгебры.

Подчеркнем, что книга В. А. Крутецкого посвящена математическим способностям школьников, то есть касается, как отмечал сам автор,

1В кн.: Чуприкова Н. И. Предисловие к книге В. А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» / Под ред Н. И. Чуприковой. — М.: Институт практической психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. — С. 13–17; 19–21.

лишь способности к усвоению математики. Его исследование не претендовало и не могло претендовать на раскрытие природы математических способностей в их высших проявлениях. Однако нельзя не согласиться с В. А. Крутецким, что глубокое самостоятельное и творческое изучение математики является необходимой предпосылкой развития способностей к подлинно творческой математической деятельности — самостоятельной постановке проблем и нахождению новых путей и методов их решения. «Именно поэтому, — писал он, — исследование математических способностей школьников есть первый шаг на пути

кисследованию математических способностей в их высших проявлениях». Поэтому, хотя способность мыслить «чистыми» математическими структурами далеко не исчерпывает всего спектра математических способностей, она, безусловно, должна рассматриваться как первичная база, основа всего этого спектра.

Вкниге В. А. Крутецкого, написанной около 30 лет назад, слово «структура» употребляется редко, и анализ полученных результатов ведется в принятых в то время терминах раздражителей и временных связей. Однако сквозь этот традиционный для того времени язык совсем нетрудно увидеть глубину ее содержания, звучащего вполне современно в контексте современных представлений о когнитивных структурах, когнитивных схемах, об извлечении инвариант и разных психологических уровнях репрезентации и обработки материала.

Вот что писал В. А. Крутецкий, подводя итог своей многолетней работы, и что он сам, по-видимому, считал ее наиболее важным выводом: «Мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично, неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, числовых абстрактов и символов и загруженность операций с ними».

Своеобразные «раздражители», о которых идет речь в данном абзаце, это и есть инвариантные структуры логико-математических отношений, скрытые за внешним поверхностным и как угодно варьирующим слоем их конкретного предметного, числового или образного воплощения. В том, что именно эти структуры извлекаются способными

кматематике школьниками из текстов задач и процессов их решения и не извлекаются или извлекаются с большим трудом неспособными

к математике, нетрудно убедиться, если посмотреть под этим углом зрения на конкретные тестовые задачи и конкретные результаты разных серий экспериментального исследования В. А. Крутецкого.

Для выявления особенностей восприятия логико-математических отношений и конкретных данных задач учащимися с разными математическими способностями В. А. Крутецкий использовал задачи с отсутствующим вопросом, который предлагалось сформулировать самому ученику, задачи с неполным составом условия, вследствие чего дать ответ на вопрос задачи не представлялось возможным, и задачи с избыточным составом условий, то есть с лишними данными, маскирующими данные, необходимые для решения. Оказалось, что показатели решения этих трех типов задач в группе способных к математике школьников высоко коррелировали между собой, а соответствующая матрица интеркорреляций хорошо описывалась однофакторной моделью Спирмена. Этот общий фактор был проинтерпретирован В. А. Крутецким как способность к формализованному восприятию функциональных связей задачи, «очищенных» от конкретных значений, «отделенных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура». Этот вывод В. А. Крутецкий прямо соотнес с мыслью Дункера, что при решении задач необходимо абстрагироваться от их перцептивных свойств и обнаруживать общее в конкретном факте.

Вчем же конкретно проявлялись особенности мышления способных

инеспособных учеников при решении задач данных трех типов? «Способные ученики, — пишет В. А. Крутецкий, — точно указывали на вопрос или на недостающие данные, а это означало, что они воспринимают весь комплекс данных, всю структуру задачи и осознают, что недостает того или иного его элемента. Если не видеть комплекса, то нельзя видеть и вопроса, нельзя указать на недостающие данные. Равным образом не затрудняло способных учеников и наличие излишних, избыточных данных в задаче. Уверенно выделяя комплекс взаимосвязанных величин, составляющих “костяк” задачи, они просто не обращали внимания на ненужные данные, находящиеся вне этого комплекса». Малоспособные к математике ученики, наоборот, в большинстве случаев не воспринимали и не чувствовали в задаче скрытого вопроса, легко брались за решение задач с недостаточными данными и бесконечно путались в решении задач с лишними данными, даже если они вводились в текст самых простых задач. Таким образом, из всего представленного материала и из его интерпретации, данной В. А. Крутецким, ясно видно, что у способных к математике учеников структура задачи четко вычленяется из ее условий и конкретных данных, а у неспособных такое вычленение идет с большим трудом, так как структура «замаскирована»

текстом и всеми конкретными данными задачи, не вычленена как таковая из этого общего контекста.

«Настроенность мозга» способных к математике учащихся на извлечение и оперирование логико-математическими отношениями и отсутствие такой «настроенности» у малоспособных ярко проявились также в описанных В. А. Крутецким особенностях памяти тех и других, в ее разной избирательности по отношению к разным элементам математических задач. Оказалось, что, спустя час после решения, способные к математике в 95,7 % случаев помнили типовые признаки задач, схемы рассуждений, основные линии рассуждений, логические схемы. Конкретные данные

ицифровой материал воспроизводились тоже хорошо, но несколько хуже. Через неделю и через три месяца эффективность сохранения в памяти обобщенных существенных отношений задач оставалась также очень высокой (92,8 и 85,6 %). Совсем иначе обстояло дело с сохранением в памяти конкретных и ненужных данных. Для конкретных данных соответствующие проценты составили всего 9,6 % (через неделю) и 2,0 % (через месяц). Что касается ненужных данных, то через неделю они воспроизводились только в 1,0 % случаев, а через 3 месяца были забыты полностью.

Усредних и малоспособных к математике учеников картина была совсем другой. Многие из них лучше помнили конкретные данные, цифры, конкретные факты, относящиеся к задаче, но хуже помнили типовые особенности задачи или не помнили их совсем. Некоторые из неспособных к математике учеников уже через час забывали и основные соотношения данных задачи, и способы их решения.

В современной психологии память, помимо многих других аспектов, рассматривается как результат глубины и широты анализа воспринятого материала. Принимается, что материал может обрабатываться на разных уровнях организации познавательной системы — на поверхностном, сенсорно-перцептивном уровне и на более глубоких семантических уровнях — и что чем глубже уровень анализа и чем шире анализ на том или ином уровне, тем лучше сохранение материала в памяти. В этом контексте данные В. А. Крутецкого говорят о том, что у способных к математике учеников материал задач обрабатывается на уровне глубоких семантических математических структур, тогда как поверхностные уровни анализа играют более скромную роль. А у малоспособных, наоборот, доминирует анализ на поверхностном уровне, что должно свидетельствовать о несформированности более глубоких семантических уровней анализа материала задач. (…)

Изучая особенности обобщения математических объектов, отношений

идействий, В. А. Крутецкий пришел к своего рода психологическому открытию. Он установил, что многократно описанный в литературе

путь постепенного обобщения материала, когда требуется определенное варьирование его несущественных признаков при сохранении постоянства, неизменности существенных признаков, не является необходимым условием обобщений в математике. Он установил, что наряду

спутем постепенного обобщения математического материала на основе варьирования некоторого многообразия частных случаев, который характерен для большинства школьников, существует другой путь, «когда способные ученики, не сопоставляя “сходное”, не сравнивая, без специальных упражнений и указаний учителя, осуществляют самостоятельно обобщение математических объектов, отношений и действий “с места”, на основании анализа лишь одного явления...»

Этот отмеченный им у способных учеников путь обобщения «с места», после однократного единичного решения задачи определенного типа, В. А. Крутецкий прямо связал с присущим способным ученикам четким и ясным «видением скелета» математических объектов и отношений, то есть с «видением» логико-математической структуры задач. «Ведь когда “видишь скелет”, — писал он, — то наполнить его конкретным содержанием уже нетрудно. Это и дает способным возможность на единичном понять и тип, и все разнообразие вариаций внутри него». Что же касается среднеспособных к математике учеников, то у них обобщение идет обычным путем и логико-математический «скелет» задач вычленяется

сразной степенью постепенности, при разной степени помощи со стороны экспериментатора и при обязательном варьировании конкретной предметно-числовой формы его «упаковки». А у совсем не способных к математике такого вычленения может вообще не произойти.

Необходимым компонентом математических способностей является, по полученным В. А. Крутецким данным, гибкость и обратимость мыслительных процессов. (…)

Как и следовало ожидать, способных к математике учащихся отличала гибкость, подвижность мыслительных процессов. Она выражалась в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, в многообразии аспектов и подходов к решению задач, в легкости перестройки сложившихся схем мышления и систем действий. С обратными задачами они справлялись без особого труда. У неспособных к математике картина была прямо противоположной. Они с трудом находили разные способы решения задач, а однажды найденный способ стереотипно переносился в другие условия: ученики не замечали, что в похожей на прежние конкретной «упаковке» им предлагалась совсем иная по своей внутренней логико-математической структуре задача.

Если при изучении особенностей восприятия и обобщения математического материала В. А. Крутецким была выявлена способность к из-

влечению логико-математических отношений задач из их конкретной «упаковки», то особенности решения задач «на гибкость и обратимость», проливают свет на само функционирование внутренних психологических образований, в которых репрезентируются объективные логико-математические отношения, на их внутреннюю гибкость и подвижность. В этом отношении опять можно увидеть близость результатов В. А. Крутецкого и Дункера, который писал, что глубочайшие различия между людьми в том, что называют умственной одаренностью, по-видимому, должны корениться в большей или меньшей легкости переконструирований элементов предметной ситуации.

Глубокое своеобразие математических способностей нашло отражение

втом их компоненте, который В. А. Крутецкий назвал способностью к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий: у способных к математике школьников он постоянно наблюдал очень быстрое сокращение отдельных звеньев рассуждения при решении задач какого-либо известного им определенного типа. В этих случаях решение даже достаточно сложных задач могло осуществляться почти мгновенно, а типичные самоотчеты учащихся сводились к тому, что они говорили: «Что решать? И так видно»; «Я просто взял и написал ответ»; «Задача решается сама собой» и т. п. Анализируя подобные случаи почти мгновенных решений, В. А. Крутецкий обратил внимание, что его способные испытуемые часто затруднялись восстановить по просьбе экспериментатора развернутую систему рассуждений, обосновать логический путь решения. Отсюда он сделал принципиально важный вывод, что способные к математике дети мыслят «свернутыми структурами». Природу этих «свернутых структур» В. А. Крутецкий, солидаризируясь

вэтом вопросе с С. Л. Рубинштейном, связывал с формированием быстро складывающихся математических обобщений высокого уровня.

Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников1

§ 3. Некоторые соображения о природе математических способностей

Частично соображения по вопросу о врожденности и приобретенности математических способностей, о роли задатков были изложены нами в соответствующих главах первого раздела книги. Напомним, что наша

1В кн.: Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников / Под ред. Н. И. Чуприковой. — М.: Институт практической психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. — С. 389–393.

позиция по этому вопросу сводится к тому, что математические способности не врожденные, а приобретенные в жизни свойства, причем формирование этих свойств происходит на основе определенных задатков. Роль задатков различна, в зависимости от того, о каких способностях идет речь, — эта роль минимальна в случаях развития обычных способностей к математике, и эта роль исключительно велика, когда речь идет о случаях выдающейся математической одаренности ученых-математиков.

Материалы нашего исследования — анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрастах (последнее — по биографическим материалам) позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

1)частое (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;

2)острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;

3)большая (и часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;

4)характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность ума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности — мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично, неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, число-

вых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос «Математиком можно стать или им нужно родиться?» мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, — многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А. Н. Колмогорова: «Талант, одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И. Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. — В. К.).

Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы. Мы предполагаем, что проверка этой гипотезы может идти по следующим основным направлениям, тем более что накоплены физиологические факты, в ка- кой-то мере проясняющие этот вопрос.

1.Дальнейшее развитие положения, выдвинутого Б. М. Тепловым, о том, что наряду с общими типологическими свойствами, характеризующими нервную систему в целом, существуют и более частные типологические свойства, характеризующие работу отдельных областей коры, разных систем мозга, разных анализаторов, которые могут быть отнесены к задаткам, лежащим в основе специальных способностей. Как мы предположили, вероятно, можно говорить и о своего рода парциальности свойств нервных процессов (в частности, силы) человека применительно к характеру той или иной его деятельности. Выше мы уже попытались показать, что основные характеристики силы нервных процессов (умственная выносливость, работоспособность, высокая сопротивляемость утомлению, способность к длительному поддержанию напряжения, сосредоточенность и т. д.) у особо одаренных к математике детей и сложившихся, зрелых математиков могут относиться только к их математической деятельности и не характеризовать их других проявлений. Это значит, что сила нервных процессов получает одну характеристику в процессе математической деятельности и другую — в других видах деятельности или, вообще говоря, разную характеристику в зависимости от характера деятельности.

2.Развитие учения о специализации функций различных участков мозговой коры. А. Р. Лурия успешно разрабатывает учение