v0.5.7.final / 03

11 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом уравнение регрессии, описывающее эти опытные данные,

В кодированном факторном пространстве в соответствии с указанным планом

z1

12 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для параметрической идентификации кодированного уравнения регрессии используется метод регрессионного анализа, включающий три этапа:

- определение кодированных коэффициентов уравнения регрессии ~ a

методом наименьших квадратов;

- оценка значимости кодированных коэффициентов регрессии с использованием t – критерия Стьюдента;

- проверка адекватности кодированного уравнения регрессии с использованием F – критерия Фишера.

Реализация двух последних этапов возможна при выполнении свойства однородности дисперсий (одно из требований регрессионного анализа) и проведении параллельных опытов, например, в центре плана

13 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение кодированных коэффициентов регрессии

В этом случае используется применяемая при линейном регрессионном анализе матричная формула метода наименьших квадратов (МНК), которая с учётом кодирования факторов имеет вид:

14 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

где кодированная матрица, зависящая от независимых переменных для двух факторов включает только +1 и -1 и имеет вид:

Матрица z при активном экспериментировании называется матрицей планирования и обладает тремя оптимальными свойствами:

- симметричности: сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого (точнее, нулевого) равна нулю

n

zij 0 ( j 1, ..., m);

i1

15 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

- ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю

i 1

- нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы

Благодаря перечисленным оптимальным свойствам матрицы планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна

16 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали, равными n = 22 = 4.

Соответственно, корреляционная матрица C также будет диагональной и с одинаковыми элементами главной диагонали:

17 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Результатом подстановки последних соотношений в матричную формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет простая формула:

столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:

18 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства – симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:

19 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов (m>2) матрица планирования z строится с использованием рассмотренной методики, в том числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).

В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий факторов (n 2m ) и матрица планирования сохраняет перечисленные оптимальные свойства.

Поэтому для определения кодированных коэффициентов регрессии используются приведённые выше формулы.

выражения для последних через натуральные значения факторов x j j 1,...m в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.