1 Структура системы MathCad

MathCAD представляет собой интегрированную среду для решения различных математических задач. MathCAD позволяет наглядно вводить исходные данные, проводить традиционное математическое описание решения задачи и получать результаты вычисления в аналитическом или численном виде с использованием при необходимости их графического представления.

Система MathCad содержит следующие функциональные компоненты [1]:

• систему меню различных уровней вложенности;

• контекстные меню;

• набор панелей инструментов;

• текстовый редактор для комментирования процессов математических вычислений;

• редактор формул;

• графический редактор, который обеспечивает возможность построения двух– и трёхмерных графиков [2];

• вычислительную систему для проведения расчётов в числовой форме или в символьном виде;

• шаблоны, которые ускоряют ввод данных;

• систему проверки правильности написания математических выражений;

• встроенную систему вывода результатов расчётов.

2 Алфавит системы MathCad

Система MathCAD использует следующие символы алфавита:

• строчные и прописные буквы латинского алфавита;

• строчные и прописные буквы греческого алфавита;

• строчные и прописные буквы русского алфавита (используются только в текстовых областях!);

• арабские цифры от 0 до 9;

• системные переменные;

• операторы;

• имена встроенных (стандартных) функций;

• специальные знаки.

3 Типы данных в MathCAD

Система MathCAD позволяет использовать следующие типы данных:

• константы;

• переменные;

• массивы;

• данные файлового типа.

Константа – это именованный объект, хранящий значение, которое не может изменяться. Числовые константы задаются с помощью арабских цифр, десятичной точки (не запятой!) и при необходимости знака минус.

Примеры:

320 – целочисленная константа;

11.4 – действительная константа с плавающей точкой;

61.2∙10^-3 – вещественная константа с плавающей точкой (61.2 – мантисса, -3 – порядок).

Диапазон чисел, представленных в десятичной системе счисления, составляет от –10^-307 до 10³⁰⁷.

Система MathCAD даёт возможность работать с числами, представленными также в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления. Для того чтобы отличать числа, представленные в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления от десятичных чисел, в конце двоичного числа записывают латинскую букву b, восьмеричного числа – латинскую букву о, в конце шестнадцатеричного – латинскую букву h.

Некоторые имена в системе MathCAD зарезервированы под системные переменные, которые называются встроенными константами. Встроенные константы делятся на два типа:

• математические константы, хранящие значения некоторых общеупотребительных специальных математических символов;

• системные константы, которые определяют работу численных алгоритмов.

К математическим константам относятся, в частности, символ бесконечности (∞), основание натурального логарифма (е), число π, символ процента (%).

К системным константам относятся, например, значение переменной ORIGIN, которая позволяет изменять начальный индекс векторов и матриц (по умолчанию он принимается равным нулю), а также значение переменной ТОL, которая определяет погрешность численных методов (по умолчанию погрешность принимается равной 0.001).

Система MathCAD позволяет использовать строковые константы, которые при записи заключаются в кавычки, например, “temp”.

Система MathCAD также позволяет работать с комплексными числами, а также использовать размерности для различных величин.

Переменные представляют собой именованные объекты, имеющие значения, которые могут изменяться при решении задачи. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндами операторов.

Имена переменных называются идентификаторами. Идентификаторы могут включать в себя цифры, латинские и греческие буквы, но начинаться должны обязательно с буквы и в их составе не должно быть пробелов, русских букв, знаков арифметических действий. Строчные и прописные символы при записи идентификаторов различаются.

Переменные могут быть строкового типа, например, А:=”Ответ=”.

Переменные перед их использованием должны быть определены пользователем. Для присваивания переменной какого–либо значения используется знак := (двоеточие и равно. Это один знак!). Знак равенства в системе MathCAD применяется для вывода значения константы или переменной. Если используется локальная переменная, которая предварительно не была определена, то появляется сообщение об ошибке – имя переменной окрашивается в красный цвет. MathCAD использует также жирный знак равенства, который является признаком неравенства в операциях сравнения или оператором приближённого равенства.

Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, то такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать при проведении расчётов. Например, при выполнении оператора а:=5.4 переменной а присваивается значение пять целых и четыре десятых. Однако с помощью знака (клавиша <~> (тильда) на клавиатуре) можно обеспечить глобальное присваивание (рисунок 1), которое позволяет использовать глобальную переменную по всему документу, в том числе и до сделанной надписи.

Рисунок 1 – Задание локальных и глобальных переменных в MathCAD

Массивы представляют собой упорядоченные последовательности чисел или строк.

Массив – это имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:

• одномерные (векторы);

• двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.

Дискретные аргументы – это особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных (1 способ) с шагом, равным +1 или -1, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного (2 способ).

В случае целочисленного варианта значений дискретной переменной используется запись:

Имя := Начальное значение .. Конечное значение,

где Имя – имя переменной, Начальное значение – ее начальное значение, Конечное значение – конечное значение, .. – символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится клавишей <;>). Если Начальное значение < Конечное значение, то шаг переменной будет равен +1, иначе -1.

Если дискретная переменная должна принимать значения с шагом, отличным от единицы, то должна использоваться запись:

Имя := Начальное значение, Второе значение .. Конечное значение

Здесь Второе значение рассчитывается как Начальное значение + Шаг, где Шаг – заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Начальное значение < Конечное значение, или отрицательным в противном случае).

Частным случаем индексированных переменных можно считать ранжированные переменные. Ранжированные переменные имеют ряд фиксированных значений, меняющихся с определённым шагом от начального значения до конечного. Переменные этого типа являются разновидностями векторов. Они применяются для представления числовых значений функций в табличной форме, для построения их графиков. Например, ранжированная переменная i, заданная в документе как i:=0..5, принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ранжированная переменная j, заданная в документе как j:=1.5, 1.6..2, принимает значения от 1.5 до 2 с шагом, равным 0.1, т.е. 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2. Шаг рассчитывается по формуле: 1.6-1.5=0.1.

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы

Индексированные переменные могут иметь один (для элементов вектора) или два (для элемента матрицы) индекса, например, а_i – i-ый элемент вектора а, с_i,j – элемент матрицы с, находящийся в i-ой строке и j-‍ом столбце.

4 Операторы системы MathCAD

Операторы представляют собой элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, интегралов, производных первого и более высокого порядка и т.д. После указания операндов (параметров операторов) операторы становятся выполняемыми блоками. Основные операторы системы MathCAD представлены в приложении А.

Операторы – элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

Оператор определяет:

• действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

• сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.

Операнд – число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! + 3 число 3 и выражение 5! - операнды оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы становятся исполняемыми по документу блоками.

В Приложении А данных методических указаний приведен список наиболее часто используемых операторов.

Основными арифметическими операторами MathCAD являются:

• оператор присваивания :=

• оператор вывода результата =

• оператор смены знака –х

• символы арифметических операций + – * /

• знаки вычисления сумм и произведений, производных и интеграла

• возведение в степень хn

• вычисление факториала х!

• вычисление модуля комплексного числа |Z|

• вычисление комплексно-сопряженного числа

• ввод скобок ( )

• ввод верхнего и нижнего индексов

• операторы сравнения величин

5 Функции системы MathCAD

MathCAD позволяет использовать два вида функций: стандартные (встроенные) и функции пользователя (заданные пользователем) [6].

Обращение к функциям происходит по имени, за которым в круглых скобках указываются один или несколько аргументов, разделенных запятой. Например, sin(x), b(x,y). Функция возвращает некоторое значение – числовое, символьное, вектор, матрицу. Функции могут входить в математические выражения.

MathCAD содержит расширенный набор встроенных элементарных функций, вызываемых командой Вставка/Функция… (Insert/ Function). При указании имени функции с указанием аргумента она возвращает некоторое значение, которое может быть символьным, числовым, вектором или матрицей. Основные встроенные функции MathCAD приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Основные встроенные функции MathCAD

Математическое представление функции	MathCAD
sin x	sin(x)
cos x	cos(x)
tg x	tan(x)
ctg x	cot(x)
sec x	sec(x)
cosec x	cosec(x)
arcsin x	asin(x)
arccos x	acos(x)
arctg x	atan(x)
ln x	ln(x)
lg x	log(x)
ex	ex, exp(x)

Кроме встроенных функций, пользователь может создавать свои, пользовательские функции, которые отсутствуют в MathCAD, что позволяет адаптировать систему для решения любых пользовательских задач.

Чтобы задать пользовательскую функцию, записывают её имя, в круглых скобках – один или несколько аргументов, разделённых запятыми, символ присваивания и выражение:

Имя функции(Список параметров) := Выражение

В этой записи Имя функции задается как любой идентификатор. В скобках указывается Список параметров функции – перечень используемых в выражении переменных (через запятую). Выражение – любое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке параметров.

Примеры функций, заданных пользователем:

y(x) : = 2 ·sin(x) F(x,y) : = x² + y²

В состав выражений могут входить числа, знаки арифметических действий, функции.