1 Структура системы MathCad
MathCAD представляет собой интегрированную среду для решения различных математических задач. MathCAD позволяет наглядно вводить исходные данные, проводить традиционное математическое описание решения задачи и получать результаты вычисления в аналитическом или численном виде с использованием при необходимости их графического представления.
Система MathCad содержит следующие функциональные компоненты [1]:
систему меню различных уровней вложенности;
контекстные меню;
набор панелей инструментов;
текстовый редактор для комментирования процессов математических вычислений;
редактор формул;
графический редактор, который обеспечивает возможность построения двух– и трёхмерных графиков [2];
вычислительную систему для проведения расчётов в числовой форме или в символьном виде;
шаблоны, которые ускоряют ввод данных;
систему проверки правильности написания математических выражений;
встроенную систему вывода результатов расчётов.
2 Алфавит системы MathCad
Система MathCAD использует следующие символы алфавита:
строчные и прописные буквы латинского алфавита;
строчные и прописные буквы греческого алфавита;
строчные и прописные буквы русского алфавита (используются только в текстовых областях!);
арабские цифры от 0 до 9;
системные переменные;
операторы;
имена встроенных (стандартных) функций;
специальные знаки.
3 Типы данных в MathCAD
Система MathCAD позволяет использовать следующие типы данных:
константы;
переменные;
массивы;
данные файлового типа.
Константа – это именованный объект, хранящий значение, которое не может изменяться. Числовые константы задаются с помощью арабских цифр, десятичной точки (не запятой!) и при необходимости знака минус.
Примеры:
320 – целочисленная константа;
11.4 – действительная константа с плавающей точкой;
61.2∙10-3 – вещественная константа с плавающей точкой (61.2 – мантисса, -3 – порядок).
Диапазон чисел, представленных в десятичной системе счисления, составляет от –10-307 до 10307.
Система MathCAD даёт возможность работать с числами, представленными также в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления. Для того чтобы отличать числа, представленные в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления от десятичных чисел, в конце двоичного числа записывают латинскую букву b, восьмеричного числа – латинскую букву о, в конце шестнадцатеричного – латинскую букву h.
Некоторые имена в системе MathCAD зарезервированы под системные переменные, которые называются встроенными константами. Встроенные константы делятся на два типа:
математические константы, хранящие значения некоторых общеупотребительных специальных математических символов;
системные константы, которые определяют работу численных алгоритмов.
К математическим константам относятся, в частности, символ бесконечности (∞), основание натурального логарифма (е), число π, символ процента (%).
К системным константам относятся, например, значение переменной ORIGIN, которая позволяет изменять начальный индекс векторов и матриц (по умолчанию он принимается равным нулю), а также значение переменной ТОL, которая определяет погрешность численных методов (по умолчанию погрешность принимается равной 0.001).
Система MathCAD позволяет использовать строковые константы, которые при записи заключаются в кавычки, например, “temp”.
Система MathCAD также позволяет работать с комплексными числами, а также использовать размерности для различных величин.
Переменные представляют собой именованные объекты, имеющие значения, которые могут изменяться при решении задачи. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндами операторов.
Имена переменных называются идентификаторами. Идентификаторы могут включать в себя цифры, латинские и греческие буквы, но начинаться должны обязательно с буквы и в их составе не должно быть пробелов, русских букв, знаков арифметических действий. Строчные и прописные символы при записи идентификаторов различаются.
Переменные могут быть строкового типа, например, А:=”Ответ=”.
Переменные перед их использованием должны быть определены пользователем. Для присваивания переменной какого–либо значения используется знак := (двоеточие и равно. Это один знак!). Знак равенства в системе MathCAD применяется для вывода значения константы или переменной. Если используется локальная переменная, которая предварительно не была определена, то появляется сообщение об ошибке – имя переменной окрашивается в красный цвет. MathCAD использует также жирный знак равенства, который является признаком неравенства в операциях сравнения или оператором приближённого равенства.
Если
переменной присваивается начальное
значение с помощью оператора :=, то такое
присваивание называется локальным.
До этого присваивания переменная не
определена и ее нельзя использовать
при проведении расчётов. Например, при
выполнении оператора а:=5.4
переменной
а
присваивается значение пять целых и
четыре десятых. Однако с помощью знака
(клавиша
<~> (тильда)
на клавиатуре) можно обеспечить глобальное
присваивание (рисунок 1), которое позволяет
использовать глобальную переменную по
всему документу, в том числе и до сделанной
надписи.
Рисунок 1 – Задание локальных и глобальных переменных в MathCAD
Массивы представляют собой упорядоченные последовательности чисел или строк.
Массив – это имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов:
одномерные (векторы);
двумерные (матрицы).
Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.
Дискретные аргументы – это особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных (1 способ) с шагом, равным +1 или -1, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного (2 способ).
В случае целочисленного варианта значений дискретной переменной используется запись:
Имя := Начальное значение .. Конечное значение,
где Имя – имя переменной, Начальное значение – ее начальное значение, Конечное значение – конечное значение, .. – символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится клавишей <;>). Если Начальное значение < Конечное значение, то шаг переменной будет равен +1, иначе -1.
Если дискретная переменная должна принимать значения с шагом, отличным от единицы, то должна использоваться запись:
Имя := Начальное значение, Второе значение .. Конечное значение
Здесь Второе значение рассчитывается как Начальное значение + Шаг, где Шаг – заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Начальное значение < Конечное значение, или отрицательным в противном случае).
Частным случаем индексированных переменных можно считать ранжированные переменные. Ранжированные переменные имеют ряд фиксированных значений, меняющихся с определённым шагом от начального значения до конечного. Переменные этого типа являются разновидностями векторов. Они применяются для представления числовых значений функций в табличной форме, для построения их графиков. Например, ранжированная переменная i, заданная в документе как i:=0..5, принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ранжированная переменная j, заданная в документе как j:=1.5, 1.6..2, принимает значения от 1.5 до 2 с шагом, равным 0.1, т.е. 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2. Шаг рассчитывается по формуле: 1.6-1.5=0.1.
Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы
Индексированные переменные могут иметь один (для элементов вектора) или два (для элемента матрицы) индекса, например, аi – i-ый элемент вектора а, сi,j – элемент матрицы с, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце.
4 Операторы системы MathCAD
Операторы представляют собой элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, интегралов, производных первого и более высокого порядка и т.д. После указания операндов (параметров операторов) операторы становятся выполняемыми блоками. Основные операторы системы MathCAD представлены в приложении А.
Операторы – элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.
Оператор определяет:
действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;
сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.
Операнд – число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! + 3 число 3 и выражение 5! - операнды оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы становятся исполняемыми по документу блоками.
В Приложении А данных методических указаний приведен список наиболее часто используемых операторов.
Основными арифметическими операторами MathCAD являются:
оператор присваивания :=
оператор вывода результата =
оператор смены знака –х
символы арифметических операций + – * /
знаки вычисления сумм и произведений, производных и интеграла
возведение в степень хn
вычисление факториала х!
вычисление модуля комплексного числа |Z|
вычисление комплексно-сопряженного числа
ввод скобок ( )
ввод верхнего и нижнего индексов
операторы сравнения величин
5 Функции системы MathCAD
MathCAD позволяет использовать два вида функций: стандартные (встроенные) и функции пользователя (заданные пользователем) [6].
Обращение к функциям происходит по имени, за которым в круглых скобках указываются один или несколько аргументов, разделенных запятой. Например, sin(x), b(x,y). Функция возвращает некоторое значение – числовое, символьное, вектор, матрицу. Функции могут входить в математические выражения.
MathCAD содержит расширенный набор встроенных элементарных функций, вызываемых командой Вставка/Функция… (Insert/ Function). При указании имени функции с указанием аргумента она возвращает некоторое значение, которое может быть символьным, числовым, вектором или матрицей. Основные встроенные функции MathCAD приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Основные встроенные функции MathCAD
-
Математическое представление функции
MathCAD
sin x
sin(x)
cos x
cos(x)
tg x
tan(x)
ctg x
cot(x)
sec x
sec(x)
cosec x
cosec(x)
arcsin x
asin(x)
arccos x
acos(x)
arctg x
atan(x)
ln x
ln(x)
lg x
log(x)
ex
ex, exp(x)
Кроме встроенных функций, пользователь может создавать свои, пользовательские функции, которые отсутствуют в MathCAD, что позволяет адаптировать систему для решения любых пользовательских задач.
Чтобы задать пользовательскую функцию, записывают её имя, в круглых скобках – один или несколько аргументов, разделённых запятыми, символ присваивания и выражение:
Имя функции(Список параметров) := Выражение
В этой записи Имя функции задается как любой идентификатор. В скобках указывается Список параметров функции – перечень используемых в выражении переменных (через запятую). Выражение – любое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке параметров.
Примеры функций, заданных пользователем:
y(x) : = 2 ·sin(x) F(x,y) : = x2 + y2
В состав выражений могут входить числа, знаки арифметических действий, функции.