ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.15. Треугольник сопротивлений в комплексной плоскости для φ>0

Построение диаграммы для последовательной цепи удобно начинать с

•

вектора тока I = I , который является общим для всех элементов цепи и откладывается на положительной действительной оси комплексной

•

плоскости. Вектор напряжения U R совпадает по фазе с вектором тока,

на угол φ>0, который по величине меньше 900.

Из векторной диаграммы видно, что действующее значение входного (общего) напряжения равно:

U = UR2 +UL2 .

Полное сопротивление цепи Z может быть рассчитано по закону Ома (2.54) или через активное и реактивное сопротивления по формуле (2.56).

Рис.2.16. Векторная диаграмма последовательной цепи R, L

70

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток I, то получится треугольник сопротивления (рис.2.15).

Интересно рассмотреть последовательное соединение резистора R с реальной индуктивной катушкой, имеющей индуктивность L и активное сопротивление Rк (рис.2.17).

Рис.2.17. Схема цепи с последовательным соединением резистора и индуктивной катушки

Выберем направление обхода контура по часовой стрелке и запишем уравнение второго закона Кирхгофа:

комплексное сопротивление цепи.

Закон Ома для действующих значений напряжения и тока соответствующих участков цепи:

71

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

где Zк – полное сопротивление индуктивной катушки, Z – полное сопротивление цепи.

•

Угол сдвига фаз между напряжением U к на индуктивной катушке и током I:

напряжения равно:

U = Ua2 +U P2 .

Рис.2.18. Векторная диаграмма последовательного соединения индуктивной катушки и резистора (а) и треугольник сопротивлений (б)

Определим мощности, которые потребляет электрическая цепь

(рис.2.17).

Активная мощность

P =UI cosϕ = RцI 2 ,

реактивная мощность

72

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Q =UI sinϕ = X L I 2 =U L I ,

полная мощность

S =UI = ZI 2 = P2 +Q2 .

2.15.Последовательное соединение элементов R и С

Внеразветвленной цепи под действием синусоидального напряжения

u =Um sin(ωt +ψu ) возникает синусоидальный ток i и синусоидальные

напряжения на элементах R и С. Уравнение второго закона Кирхгофа для мгновенных значений имеет вид:

u = uR +uC = Ri + C1 ∫idt .

При комплексном методе расчета алгебраическое уравнение второго закона Кирхгофа (рис.2.19) определяется выражением:

•

составляющие общего напряжения U цепи.

Рис.2.19. Схема цепи синусоидального тока с последовательным соединением R и C

Из формулы (2.62) можно получить закон Ома в комплексной форме:

ωC

алгебраической форме.

73

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Определим комплексное сопротивление цепи в показательной форме:

представляет закон Ома для действующих (амплитудных) значений напряжения и тока.

Покажем, как от показательной формы комплексного сопротивления перейти к алгебраической:

где активное сопротивление R = Z cosϕ , а емкостное сопротивление

X C = Z sinϕ .

Для перехода от алгебраической формы к показательной необходимо определить полное сопротивление Z и угол сдвига фаз ϕ :

Треугольник сопротивлений для рассматриваемой цепи представлен на рис.2.20.

Рис.2.20. Треугольник сопротивлений для цепи R, C в комплексной плоскости

74

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

На рис.2.21 представлена векторная диаграмма неразветвленной цепи

общее напряжение, то угол сдвига фаз φ<0 и по абсолютной величине он меньше 900. Угол φ через параметры цепи можно рассчитать по формуле

(2.68).

Закон Ома для действующих значений напряжения и тока соответствующих участков цепи определяется следующими выражениями:

U R = RI; UC = ω1C I = X C I; U = ZI = R2 + X C2 I = U R2 +UC2 .

Рис.2.21. Векторная диаграмма последовательной цепи R, C

Мощности, потребляемые электрической цепью R, C:

активная мощность P =UI cosϕ = RI 2 ;

реактивная мощность Q =UI sinϕ = −XC I 2 ;

полная мощность S =UI = ZI 2 .

2.16. Последовательное соединение элементов R, L, C

также синусоидальными.

Запишем для схемы второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

75

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Из формулы (2.69) можно получить закон Ома в комплексной форме для последовательного соединения элементов R, L, C:

цепь носит емкостной характер ( X L < XC ), то X<0. Таким образом, по знаку мнимой части комплексного сопротивления Z можно определить характер цепи.

Комплексное сопротивление в показательной форме:

где Z =U I – полное сопротивление цепи (закон Ома для действующих

значений напряжения и тока).

Перейдем от показательной формы записи Z к алгебраической:

носит индуктивный характер, а во втором – емкостной.

Треугольники сопротивлений и векторные диаграммы для индуктивного (X>0) и емкостного (X<0) характера цепи приведены на

рис.2.23, 2.24 (для ψi = 0 ).

76

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.22. Схема цепи синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C

+j

Z

jX

φ>0 +

φ<0 R

-jX

Z

-j

Рис.2.23. Треугольники сопротивлений в комплексной плоскости для случаев Х>0 и X<0

Рис.2.24. Векторные диаграммы для последовательного соединения R, L, C

при X>0 (a) и X<0 (б)

77

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Из диаграммы видно, что действующее значение входного

2.17. Параллельное соединение элементов R, L, C в цепи синусоидального тока

На рис.2.25 представлена схема электрической цепи с параллельным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Цепь подключена к синусоидальному напряжению u =Um sin(ωt +ψu ) , под

действием которого в ветвях создаются синусоидальные токи. Напряжение и токи в схеме можно изобразить комплексными действующими (или амплитудными) значениями.

Рис.2.25. Схема электрической цепи при параллельном соединении элементов R, L, C

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме для схемы:

78

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

комплексная проводимость цепи в алгебраической форме.

Действующие значения токов в ветвях определяются законом Ома для действующих значений:

Из (2.77) можно определить комплексную проводимость цепи в показательной форме:

где Y = UI = Z1 – полная проводимость цепи (модуль комплексной

проводимости), −ϕ = (ψi −ψu ) – аргумент комплексной проводимости.

Переход от показательной формы записи комплексной проводимости к алгебраической:

Для обратного перехода необходимо определить Y и φ:

79