ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Расчет токов методом узловых потенциалов (двух узлов)

Токи в ветвях рассчитываются по закону Ома в комплексной форме:

2.20. Примеры решения задач

Задача 1

Индуктивность L=100 мГн включена последовательно с активным сопротивлением R=10 Ом (рис.2.35). Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении uR = 50sin(314t +300 ) В. Определить мгновенные значения тока i и напряжения на индуктивности uL, действующие значения

UR, UL, I, мощности P, Q, S.

Построить векторную диаграмму тока и напряжений, определить действующее значение напряжения U на входе цепи.

Рис.2.35. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

90

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Мгновенное значение тока

i = uR = 50sin(314t +300 ) = 5sin(314t +300 ) А, R 10

мгновенное значение напряжения на индуктивности

uL = L di = L dIm sin(ωt +ψi ) = ωLIm cos(ωt +ψi ) = dt dt

= 314 100 10−35sin(314t +ψi +900 ) =157sin(314t +1200 ) В.

Это напряжение можно определить иначе. При синусоидальном токе напряжение uL будет также синусоидальным, т.е.

uL =UmL sin(ωt +ψuL ),

где неизвестными являются амплитуда UmL и начальная фаза ψuL. Амплитудное напряжение на индуктивности определяется по закону

Ома для амплитудных значений:

UmL = ωLIm ,

а начальная фаза напряжения на индуктивности больше начальной фазы тока ψi на 900.

Следовательно,

uL =UmL sin(ωt +ψuL ) = ωLIm sin(ωt +ψi +900 ) =157sin(314t +1200 ) В.

Действующие значения тока и напряжений:

Векторная диаграмма тока и напряжений изображена на рис.2.36.

Из векторной диаграммы видно, что действующее значение напряжения, приложенного к цепи, равно:

U = UR2 +UL2 = 111,32 +35,42 =116,7 В.

91

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.36. Векторная диаграмма для схемы (рис.2.35)

Из треугольника напряжений можно определить угол сдвига фаз между током и входным напряжением:

ϕ = arctg UL = arctg 111,3 = 72,30.

UR 35,4

Угол сдвига фаз можно рассчитать также по формуле:

ϕ = arctgωL R.

Определим активную, реактивную и полную мощности:

P =UI cosϕ =116,7 3,54cos72,30 =125,4 Вт;

Q =UI sinϕ =116,7 3,54sin 72,30 = 393,5 вар;

S =UI =116,7 3,54 = 413В·А.

Эти же мощности можно рассчитать другим способом:

P = RI 2 , Q = ωLI 2 , S = P2 +Q2 .

Задача 2

Изобразить схему замещения приемника, ток и напряжение которого выражаются функциями u =Um sin(ωt +300 ) В; i = Im sin(ωt +600 ) А.

Определить угол сдвига фаз между напряжением и током.

Как известно, ϕ =ψu −ψi = 300 −600 = −300 . Так как ϕ < 0 , то ток

92

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

опережает напряжение на угол 300, следовательно, приемник имеет активноемкостной характер. Схема замещения показана на рис.2.37.

Рис.2.37. Схема замещения приемника

Задача 3

Определить комплексные действующие значения синусоидальных функций времени:

i = 102 sin(ωt −1200 ) А; u = 312cos(ωt +900 ) В; e = − 2202 cos(ωt −600 ) В.

Изобразить полученные комплексы векторами в комплексной плоскости.

Комплексное действующее значение тока:

Чтобы от алгебраической формы записи комплекса тока перейти к показательной форме, необходимо определить модуль комплекса и его

•

аргумента с учетом того, что вектор I находится в третьей четверти комплексной плоскости:

I = 2,52 + 4,352 = 5 А; ψi = arctg 42,35,5 = 600 +1800 = 2400 = −1200.

Так как комплексы являются изображениями синусоидальных величин, то необходимо в выражениях для и,е косинусы заменить на синусы:

u = 312cos(ωt +900 ) = 312sin(ωt +1800 ) В;

e = − 2202 cos(ωt −600 ) = − 2202 sin(ωt +300 ) В.

Комплексные действующие значения напряжения и ЭДС:

93

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

На рис.2.38 полученные комплексы изображены векторами в комплексной плоскости.

Рис.2.38. Векторы в комплексной плоскости

Задача 4

диаграмму тока и напряжений.

Рис.2.39. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов

94

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Заменим синусоидальное напряжение и комплексным амплитудным напряжением:

действующее значение тока:

I = 0,49 А,

мгновенное значение тока:

i = Im sin(ωt +ψi ) = 0,7sin(ωt +900 ) А.

Комплексное действующее напряжение на емкости:

P =UI cosϕ = 1002 0,49cos(−450 ) = 24,5 Вт;

95

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Q =UI sinϕ = −24,5 вар; S = P2 +Q2 =UI = ZI 2 = 34,6 ВА.

Те же мощности можно определить через комплексы:

+j

Рис.2.40. Векторная диаграмма для схемы рис.2.39

Задача 5

Токи в ветвях:

96

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

=1,46 − j2,34 = 2,7e− j580 А.

Рис.2.41. Разветвленная цепь синусоидального тока

Определим комплексную мощность источника энергии:

Следовательно, активная мощность источника

97

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

•

Pu = Re(U I 1 ) = 494 Вт;

реактивная мощность источника

•

Qu = Im(U I 1 ) = 219 вар.

Баланс активных мощностей:

R1I12 + R2 I22 + R3I33 =10 4,52 + 24 2,72 +15 2,72 = 494 Вт= Pu ;

баланс реактивных мощностей

X1 I12 − X 2 I22 + X 3 I33 = 6 4,52 −7 2,72 + 20 2,72 = 219 вар= Qu .

Таким образом, потребляемые активные и реактивные мощности равны соответствующим мощностям источника.

Проекцию вектора напряжения на направление вектора тока называют

•

активной составляющей напряжения и обозначают U a . Проекцию вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока, называют

•

реактивной составляющей напряжения и обозначают U p .

98

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Проекцию вектора тока на направление вектора напряжения называют

•

активной составляющей тока и обозначают I 1a . Проекцию вектора тока на направление, перпендикулярное вектору напряжения, называют реактивной

•

составляющей тока и обозначают I 1 p .

Задача 6

По данным задачи 5 построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы (рис.2.41).

По результатам расчета задачи 5 откладываем векторы токов с учетом