ponomorenko

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

• • •

числа. При изображении комплексов U m , U , I векторами в комплексной плоскости величина векторов соответственно равна U m , U , I. Если

начальная фаза синусоидального тока (напряжения, ЭДС) положительная, соответствующий вектор откладывается против часовой стрелки, при отрицательной начальной фазе – по часовой стрелке.

вектором в комплексной плоскости для момента времени t=0 (начальная фаза

соответствующего ему в комплексной плоскости вектора против часовой

отставания (по часовой стрелке) также без изменения его модуля.

вектора U m на угол ωt против часовой стрелки. Тогда в момент времени t вектор повернется относительно положительной действительной оси на угол

ωt +ψu (рис.2.8). Его проекция на мнимую ось равна в выбранном масштабе

мгновенному значению синусоидального напряжения в данный момент времени t.

•

Запишем комплекс U m e jωt в тригонометрической форме:

•

u =Um sin(ωt +ψu ) может рассматриваться как мнимая часть комплекса U m e jωt ,

взятая без множителя j (проекция вращающегося вектора на мнимую ось). Условно это записывается следующим образом:

где символ Im обозначает мнимую часть комплекса в скобках.

Векторы, изображающие на комплексной плоскости комплексные действующие (амплитудные) напряжения и токи для некоторой

60

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

электрической цепи в момент времени t=0 с учетом их взаимной ориентации по фазе образуют векторную диаграмму. Векторные диаграммы широко применяются для анализа и расчета электрических цепей.

Обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексов токов и напряжения – вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это объясняется тем, что

комплекс Z не является изображением синусоидальной функции времени, а представляет собой комплексное число. Комплексное сопротивление цепи или участка цепи определяется законом Ома к комплексной форме, который может быть записан соответственно для комплексных действующих или амплитудных значений напряжения и тока:

сопротивлением, ϕ = (ψu −ψi ) – аргумент комплексного сопротивления,

определяющий угол сдвига фаз между напряжением и током соответствующего участка цепи.

2.10. Закон Ома в комплексной форме для элементов R, L, C. Векторные диаграммы

Закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента (активного сопротивления):

Комплексное сопротивление резистивного элемента является положительным действительным числом, модуль которого равен R.

Векторная диаграмма для активного сопротивления представлена на

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.9. Векторная диаграмма для резистивного элемента

Комплексное сопротивление индуктивного элемента является положительным мнимым числом, модуль которого равен xL =ωL . Векторная диаграмма для индуктивного элемента представлена на рис.2.10.

Комплексное действующее значение ЭДС самоиндукции EL = −U L .

Рис.2.10. Векторная диаграмма для индуктивного элемента

Закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента:

62

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

+j

ψi

ψu +

= -90

С

Рис.2.11. Векторная диаграмма для емкостного элемента

2.11. Законы Кирхгофа для мгновенных значений и в комплексной форме

Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока могут быть записаны для мгновенных значений напряжений и токов или в комплексной форме.

Рассмотрим уравнения в общем виде для мгновенных значений. Правила знаков в уравнениях законов остаются те же, что и в цепях постоянного тока.

Первый закон Кирхгофа (алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю):

Второй закон Кирхгофа (алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС в контуре равна алгебраической сумме мгновенных значений падений

напряжения на резистивных элементах ( ∑uR ), индуктивных элементах ( ∑uL ), емкостных элементах ( ∑uC ) и напряжений в виде разности потенциалов ( ∑u )):

Напряжения иR, иL, иС определяются в соответствии с (2.7), (2.10),

63

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

(2.13). Уравнения второго закона Кирхгофа могут содержать производные и интегралы синусоидальных функций.

Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи можно представить в комплексной форме. Для амплитудных и действующих значений напряжения и токов законы Кирхгофа справедливы только в комплексной форме. Рассмотрим уравнения для комплексных действующих значений.

Первый закон Кирхгофа (алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю):

Второй закон Кирхгофа (алгебраическая сумма комплексных ЭДС в контуре равна алгебраической сумме комплексных напряжений в контуре):

комплексной форме для соответствующего элемента контура [(2.34), (2.35), (2.36)].

Если сравнить уравнения (2.37), (2.38) с уравнениями (2.39), (2.40), то

изображающему синусоидальный ток i, умноженному на jω. Комплексное число, изображающее интеграл от синусоидального тока ∫idt , равно

•

комплексному действующему току I , изображающему синусоидальный ток

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

интегрирование – делением на jω. Законы Кирхгофа в комплексной форме являются алгебраическими уравнениями.

2.12. Выражение мощности в комплексной форме

Покажем, что активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока.

•

Допустим, что через электрическую цепь протекает ток I = Ie jψi , а

•

напряжение, приложенное к цепи, равно U =Ue jψu . Чтобы определить активную и реактивную мощности в цепи, нужно перемножить комплексное действующее напряжение на сопряженный комплекс тока, отличающийся от

где S=UI, ϕ =ψu −ψi

Комплексная мощность не является изображением синусоиды, поэтому над ее символом не ставят точку, он подчеркивается снизу.

Используя формулу Эйлера, запишем комплексную мощность в тригонометрической форме, а затем в алгебраической форме:

Следовательно, действительная часть комплекса S равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности. Модуль комплексной мощности S равен полной мощности S.

Таким образом, активная и реактивная мощности равны:

где символы Re, Im обозначают соответственно действительную и мнимую части комплекса S .

Если в цепи преобладает индуктивность (φ>0), то S определяется уравнением (2.41), а если преобладает емкость (φ<0) , то

S = P − jQ .

Треугольник мощностей для случая φ>0 изображен на комплексной плоскости (рис.2.12).

65

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис.2.12. Треугольник мощностей на комплексной плоскости

2.13. Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии для электрической цепи синусоидального тока с источниками ЭДС следует баланс активных мощностей: алгебраическая сумма активных мощностей всех источников ЭДС равна арифметической сумме мощностей всех резистивных элементов:

где ЕK , IK – комплексные действующие значения ЭДС и сопряженного тока к-го источника; IК – действующее значение тока через резистивный элемент RК.

С учетом (2.41) и (2.42) уравнение (2.43) можно записать следующим образом:

где ϕK =ψеK −ψiK .

Можно показать, что существует баланс комплексных мощностей а следовательно, кроме активных мощностей, имеет место баланс реактивных мощностей: алгебраическая сумма реактивных мощностей всех источников ЭДС равна разности между арифметической суммой реактивных мощностей всех индуктивных элементов и арифметической суммой реактивных мощностей всех емкостных элементов:

или

66

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Слагаемое алгебраической суммы активных или реактивных мощностей источника ЭДС записывается со знаком плюс, если направление

тока I к совпадает с направлением ЭДС EK (рис.2.13,а), в противном случае слагаемое записывается со знаком минус (рис.2.13,б).

Рис.2.13. Источники ЭДС и тока в к-ой ветви схемы

Следует отметить, что для модулей комплексных мощностей, т.е. для полных мощностей S, баланс не соблюдается.

Если в схеме, кроме источников ЭДС, имеются источники тока, то уравнения баланса активных и реактивных мощностей будут иметь следующий вид:

(рис.2.13,в) – записывается со знаком плюс, а для схемы (рис.2.14,г) – со знаком минус.

67

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

2.14. Последовательное соединение элементов R и L

Предположим, что в схеме (рис.2.14,а) протекает синусоидальный ток i = Im sin ωt . В этом случае все напряжения в линейной цепи также будут

синусоидальными.

Запишем второй закон Кирхгофа для мгновенных значений:

Рис.2.14. Схема цепи синусоидального тока с последовательным соединением R и L: а) для мгновенных значений, б) для комплексных действующих значений напряжения и тока

При комплексном методе расчета можно перейти от уравнения (2.49) для мгновенных значений к алгебраическому уравнению в комплексной форме для комплексных действующих (или комплексных амплитудных) значений тока и напряжений (рис.2.14,б):

Из этого уравнения можно получить закон Ома в комплексной форме для последовательного соединения R и L:

где R + jX L = Z – комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме.

Уравнение (2.51) представляет собой закон Ома для комплексных действующих значений напряжения и тока. Если умножить обе части уравнения (2.51) на 2 , получим закон Ома для комплексных амплитудных значений:

68

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Определим комплексное сопротивление цепи в показательной форме:

представляет закон Ома для действующих (амплитудных) значений напряжения и тока.

Промежуточной формой между показательной и алгебраической формами является тригонометрическая:

где активное сопротивление R = Z cosϕ , а индуктивное сопротивление

X L = Z sinϕ .

Для перехода от алгебраической формы к показательной необходимо определить полное сопротивление Z и угол φ:

На рис.2.15 изображен треугольник сопротивлений в комплексной плоскости для φ>0. Из этого треугольника очевидны соотношения (2.55), (2.56), (2.57).

Треугольник сопротивлений с катетами R, XL и гипотенузой Z может быть нарисован и без привязки к комплексной плоскости.

На рис.2.16 представлена векторная диаграмма неразветвленной цепи R, L, если начальную фазу тока принять за нуль (ψi=0).

69