4.3.Неформальное рассмотрение процесса планирования эксперимента

Теперь. чтобы не углубляться в формалистику процесса планирования эксперимента вернемся к рассмотрению конкретных примеров. Перед этим обсудим некоторые общие свойства объектов планирования эксперимента. Можно рассматривать воспроизводимые и невоспроизводимые эксперимен-ты. Для первых из них возможно повторение эксперимента в идентичных условиях. К ним относятся, разумеется, компьютерные эксперименты и лабораторные физические или химические эксперименты. В технике чаще встречаются невоспроизводимые эксперименты. Подобный эксперимент протекает во времени необратимо без возможности его изменения или пов-торения. Обычно изменения, вносимые в процессе эксперимента, малы и их условно можно рассматривать как воспроизводимые. В таких экспериментах можно выбрать последовательность условий. Рассмотрим два предельных случая Можно выбирать верхнее или нижнее значение независимой случайной величины и изменять его скачкообразно вплоть до достижения другого предельного значения. Но можно выбранные значения чередовать чисто случайным образом, выбирая то большее, то меньшее значение. Первый из этих планов называется последовательным, а второй – случайным (рандомизированным). По смыслу ясно, что для воспроизводимых экспери-ментов целесообразно применять план первого типа, а для невоспроизводимых - план второго типа.

Хорошим примером необходимости использования последовательного плана является, например, исследование коэффициентов сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса. При этом появляется возможность фиксировать изменения, связанные с физикой процесса. Как удачно выражается Шенк в «Теории инженерного эксперимента», в этих случаях «сама последовательность условий является определенным параметром».

Но все же для большинства инженерных экспериментов более подходящим является частично или полностью рандомизированный план.

Рассмотрим доводы в пользу такого подхода.

- При натурном, а не лабораторном эксперименте внешние эффекты могут неконтролируемым образом менять условия опыта. Таким образом, при исследовании функции R (Х) как R, так и Х могут меняться за счет влияния фактора y. Эти изменения ошибочно могут восприниматься как

влияние Х на R.

- В процессе эксперимента может изменяться работоспособность оператора или ухудшением точности показаний прибора.

- Механические воздействия могут вызвать изменение замеренных значений переменной Х. Допустим, что в измерительном приборе или регуляторе имеет место «заедание». Тогда знак ошибки будет меняться в зависимости от направления изменения замеряемой величины и при реализации последовательного плана мы получим систематическую ошибку. Для рандомизации можно использовать, например, генератор случайных чисел.

Однофакторный эксперимент

В данном случае имеется лишь одна регулируемая переменная. Однако кроме того на результат влияют нерегулируемые внешние переменные. Их влияние и должно быть скомпенсировано путем рандомизации условий эксперимента.

Рассмотрим следующий пример (Шенк)

Требуется проверить работу нового резца в производственных условиях и определить скорость обработки обеспечивающую максимальный .выход продукции при заданном проценте брака. У нас один фактор –скорость

обработки. Внешние переменные – станки, рабочие, дни недели. Выбираются случайным образом 4 станочника (A, B, C, D) и 4 различные скорости обра-ботки (1, 2, 3, 4). Простейший вариант плана

рабочий	день недели
	понедельник.	вторник	среда	четверг
А B C D	1 1 1 1	2 2 2 2	3 3 3 3	4 4 4 4

Он явно плохой, так как не учитывает последовательности изменении условий эксперимента, связанных с психологией, здоровьем, днями недели и.т.д. Рандомизация: выбор скорости по дням производится по жребию.

рабочий	день недели
	понедельник.	вторник	среда	четверг
А B C D	4 2 3 1	2 3 2 3	1 1 1 4	3 4 4 2

Этот план более совершенный, его еще можно улучшить. Для этого проведем полную рандомизацию таким образом, чтобы кроме того в данный день каждая скорость обработки встречалась только один раз.

рабочий	день недели
	понедельник.	вторник	среда	четверг
А B C D	1 3 2 4	2 4 1 3	3 1 4 2	4 2 3 1

Получившаяся матрица называется латинский квадрат и представляет собой частный случай в семействе планов факторных экспериментов. Он характе-рен тем, что каждый символ встречается в каждом столбце и в каждой строке только один раз.

Наконец, можно внести еще одно усовершенствование плана эксперимента – устранить влияние того, что за каждым рабочим закреплен свой станок.

Обозначим станки буквами W, X, Y, Z, таким образом, чтобы каждый рабочий обслуживал каждый станок только дин день. Тогда получим следующий план

рабочий	день недели
	понедельник.	вторник	среда	четверг
А B C D	1W 3X 2Y 4Z	2X 4W 1Z 3Y	3Z 1Y 4X 2W	4Y 2Z 3W 1X

Это так называемый греко-латинский квадрат, который позволяет устранить влияние трех факторов. Он является сбалансированным, поскольку количество уровней фактора (скорости) и количества значений случайных переменных равны между собой. При большем количестве случайных переменных задача существенно усложняется.

Если , например, мы хотим рассмотреть 6 скоростей, то для аналогичной сбалансированной схемы (квадрата) нам нужно иметь по шесть станков, рабочих и дней. Но можно сократить объем опытов, ограничив число рабочих тремя. Тогда можно ограничиться двумя Греко-латинскими квадратами 3 х 3

рабочий	день			день
	понед.	вторник	среда	четверг	пятн.	суббота
А B C	1X 3Y 5Z	3Z 5X 1Y	5Y 1Z 3X	2X 4Y 6Z	4Z 6X 2Y	6Y 2Z 4X

Этот план требует вдвое меньше, чем сбалансированный, но может оказаться вполне удовлетворительным

Многофакторные эксперименты

В многофакторных экспериментах часто возможен выбор плана одного из двух типов: классического или факторного.

Классические планы

Если функция R =F(X, Y, Z,..), то основной классический план состоит в том, что все независимые переменные кроме одной, полагаются постоянными, а для одной производится однофакторный анализ. Если можно полагать, что независимые переменные входят в выражение для R аналогичным образом, то эту же процедуру проделывают относительно следующей независимой переменой, и.т.д. То есть по существу классический многофакторный эксперимент сводится к последовательности однофакторных экспериментов.

Классический эксперимент может быть частичным или полным. При частич-ном эксперименте используются не все уровни для каждой переменной. При полном – все. Очевидно, что в этом случае может потребоваться очень большой объем эксперимента. Этот объем может быть снижен, если некоторые переменные меняются слабо и для них можно уменьшить число уровней. Типичным примером такого эксперимента является исследование зависимости для теплоотдачи

St = F(Re, Pr) (7)

где St Re, Pr – числа Стентона, Рейнольдса и Прандтля соответственно.

Поскольку число Pr обычно меняется значительно слабее, чем число Re, то

количество уровней для Pr может быть выбрано значительно меньше, чем для Re,

Факторные планы

Преимущества факторных планов над классическими будут продемонстрированы ниже. Но есть и серьезные ограничения для их применения. Это форма зависимости (функция отклика, которая упоминалась выше). Удобны лишь два типа зависимостей

R = f₁ (X) + f₂(Y) + f₃(Z) (8)

R = f₁ (X) f₂(Y) f₃(Z) (9)

Очевидно, что преобразовать вторую форму к первой можно путем логарифмирования. В случае, если такие функции не работают в широком диапазоне то можно их использовать приближенно в более узком диапазоне. Например, степенные формулы для теплоотдачи и сопротивления можно использовать в достаточно широком диапазоне параметров.

Итак, положим, что функция отклика относится к виду (9). Рассмотрим сбалансированный эксперимент, в котором переменные X, Y, Z берутся на трех уровнях и латинский квадрат имеет вид

	Y1	Y2	Y3
X3	Z1	Z2	Z3
X2	Z2	Z3	Z1
X1	Z3	Z1	Z2

Запишем три логарифмических уравнения для строки, содержащей Х₁:

(lg R)_a= lg f₁(X₁) + lg f₂(Y₁) + lg f₃(Z₃) (10a)

(lg R)_b= lg f₁(X₁) + lg f₂(Y₂) + lg f₃(Z₁) (10b)

(lg R)_c= lg f₁(X₁) + lg f₂(Y₃) + lg f₃(Z₂) (10c)

Суммируя эти 3 уравнения, имеем:

(lg R)_ч1 = 3lg f₁(X₁) + lg[f₂(Y₁)х f₂(Y₂)х f₂(Y₃)] + lg[f₃(Z₂)x f₃(Z₃)x f₃(Z₁)]

Аналогичные результаты можно получить для двух других строк. Их можно записать в виде

lg f₁(X₁)=

lg f₁(X₂)=

lg f₁(X₃)=

В нашем случае n = 3.

При осреднению по одному уровню Х влияние остальных факторов на величину lgR_xi остается неизменным. То же самое будет для Y и Z

Если принять форму (8) то вместо логарифмов операции проводятся с самой функцией.

Выбор моделей, то есть выбор функций отклика

Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома

Y=В₀ + B₁Х₁ + … + B_nХ_n + В₁₂Х₁Х₂ + … В_nn-1Х_nХ_n-1 + В₁₁Х₁² + … + В_nnX_n² +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются ограниченным числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени. То есть мы имеем дело с полиномиальными моделями.

Факторы могут иметь разные размерности и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное

значение “+1”, а также в переносе начала

координат в точку с координатами Х_1ср, Х_2ср,

…, Х_nср

Рис. 5. Пространство Текущее значение кодированного фактора кодированных факторов

,

где Х_i – именованное (абсолютное) значение фактора; x_i – кодированное значение фактора; X_icp -X_imin =X_imax-X_icp - интервал варьирования фактора.

Граница совместимости факторов указана на рис. 5 в виде кривой линии.

Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1. Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.

Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y=f(x₁,…, х_n) и записана в полиномиальном виде

Y=b₀+b₁х₁+b₂х₂+…+b_nх_n+b₁₂х₁х₂+…+b_nn-1х_n-1х_n+b₁₁х₁²+ …+b_nnх_n²+….

но, Y=F(X₁,…, X_i,…, X_n) = f(x₁,… x_i,…, х_n).

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента b_i. Для полинома в именованных факторах величина коэффициента В_i еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.

На первых этапах исследования стараются ограничиться линейной моделью, то есть полиномом первой степени. При этом приходится ограничиваться малой окрестностью рассматриваемой точки и для экстремальной задачи продвигаться к экстремуму с помощью малых шагов. Для интерполяционной задачи необходимо увеличивать степень полинома, пока не удается добиться адекватности модели.

При создании модели мы стремимся добиться простоты и адекватности. Под адекватностью понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью.

Полный факторный эксперимент

Перед самим процессом планирования надо оценить границы областей определения факторов. Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации. Границы могут , например, определяться исходя из известных физических или химических характеристик факторов.

Необходимо также выбрать основной уровень и интервал варьирования. Эти понятия будут пояснены ниже.

Полный факторный эксперимент типа 2^k

Это первый эта планирования предполагает получение линейной модели и основан на варьировании факторов на двух уровнях. Тогда можно сразу найти число опытов для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов – N = 2^k , где N- число опытов, k – число факторов, и 2 – число уровней. В общем случае эксперимент, в котором. реализуются все возможные сочетания уровней факторов называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Для нашего случая имеем ПФЭ типа 2^k.

Таблица Матрица планирования эксперимента 2^k

Номер опыта	1	2	у
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	у1 у1 у1 у1

Планы полного факторного эксперимента 2ⁿ (планы ПФЭ 2ⁿ)

Планы ПФЭ 2ⁿ являются простейшими планами первого порядка. Основание 2 означает, что принято два уровня варьирования, на которых фиксируются факторы. n – число факторов.

Для плана ПФЭ 2² число факторов равно двум (n=2) и число уровней фиксирования факторов также 2. Значения кодированных факторов выбираются в виде +1 и –1. Полное число возможных сочетаний значений n факторов (число опытов, а значит и число строк плана) N=2²=4. Составляется план, в котором число столбцов факторов и их сочетаний равняется числу членов уравнения. Так для уравнения

План ПФЭ 2² для этого уравнения представляется в следующем виде

В первый столбец (i=0) во все четыре ячейки заносятся +1. Во второй столбец (i=1) заносятся единицы с чередующими знаками (начинаем с -1). В этом случае сумма элемента столбца равняется нулю. Третий столбец заполняем единицами с чередующимися через 2 элемента знаками. Сумма элементов также равняется нулю. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2² с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 7. Точки плана располагаются в вершинах квадрата.

Рис. 7. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2² в факторном пространстве

Элементы столбцов соответствующих произведениям факторов получаются путем перемножения элементов предыдущих столбцов. Такое правило позволяет гарантировать, что мы не пропустили ни одного возможного сочетания факторов в опытах и в то же время не будет повторений одинаковых сочетаний. Последние два столбца факторов, соответствующие квадратам факторов, состоят только из +1. Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбец х₁х₂, не обведенный утолщенной рамкой, при проведении опытов носит вспомогательный характер.

Особенности плана ПФЭ 2²:

1. Различных столбцов в таблице получилось лишь четыре. Столбцы, соответствующие квадратам факторов неотличимы от столбца х₀ - это общий результат для плана ПФЭ 2ⁿ. Это не позволяет определить коэффициенты при квадратах факторов. Поэтому планы ПФЭ 2ⁿ называют планами первого порядка. Для определения коэффициентов при квадратах факторов используют планы второго порядка. В дальнейшем в планах ПФЭ 2ⁿ столбцы квадратов факторов изображаться не будут.

2. Число различных столбцов равняется числу различных сочетаний факторов, то есть числу строк плана - числу опытов N. Это тоже общий результат для этих планов, то есть с помощью планов ПФЭ 2ⁿ можно определить все коэффициенты линейного полинома со всеми возможными сочетаниями факторов, включая коэффициенты b_12…n , отражающие максимальное взаимодействие факторов вида х₁х₂…х_n.

3. В плане ПФЭ 2² сумма квадратов элементов любого столбца

,

Поэтому для планов ПФЭ 2ⁿ

.

Таким образом, с помощью планов ПФЭ 2ⁿ можно определить свободный член уравнения b₀, коэффициентовb_i, коэффициентов при различных взаимодействиях двух факторовb_ij , коэффициентов тройных взаимодействий факторовb_ijk , ….., коэффициентb_12…n. максимального взаимодействия факторов. Общее число определяемых коэффициентов

.

План ПФЭ 2ⁿ может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1<N . План ПФЭ 2ⁿ является также рототабельным, так как все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом относительно центра плана.

Для плана ПФЭ 2³ число факторов n = 3. Выполняется N = 2³ = 8 опытов. Уравнение может содержать до восьми членов

.

Таким образом формируется план из восьми строк и восемь столбцов. В четвертом столбце (i=3) записываются единицы с чередующимися знаками через четыре элемента. План составляется аналогичным образом плану ПФЭ 2².

Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбцы, не обведенные утолщенной рамкой, при проведении опытов носят вспомогательный характер. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 8. Точки плана располагаются в вершинах куба.

Рис. 8. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ в факторном пространстве

Пример применения плана ПФЭ 2².

Пусть в результате проведения экспериментов по плану ПФЭ 2², то есть при изменении двух факторов, мы получили опытные значения Y₁, Y₂, Y₃, Y₄. Поверхность, уравнение которой нас интересует, имеет вид рис. 9.

Рис. 9. Поверхность функции отклика

Составляем план ПФЭ 2².

Вначале найдем коэффициенты сокращенного линейного полинома вида

и результаты вычислений по нему.

Рассчитываем коэффициенты полинома.

;

;

.

Полином имеет вид

.

Результаты расчета по нему приведены в соответствующем столбце плана. Наблюдаются расхождения между Y и . Если точность сокращенного полинома не удовлетворяет, то по тем же результатам опытов можно сформировать более полный полином вида

.

При этом ранее определенные коэффициенты остаются без изменений. Определим коэффициент при дополнительном члене полинома

.

Полином имеет вид

.

По нему рассчитываем предсказанные значения отклика в точках плана (столбец ). Поверхность, построенная по полученному полиному, проходит точно через четыре точки плана (=0), по которым определены коэффициенты. Однако в других точках области определения функции, например в центре плана (точка 5 в плане,х₁=0, х₂=0), предсказанные и действительные значения, могут не совпадать (=3).

 

Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2ⁿ (N = 2ⁿ) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента. Так, например, если требуется определить лишь коэффициенты при самих факторах

,

то план ПФЭ 2ⁿ дает избыточную информацию. Так при , в этом случае требуется определитькоэффициентов, тогда как по плану ПФЭ необходимо провестиN = 2⁶ =64 опыта.

Хотя эта избыточная информация не является бесполезной, она позволяет более точно определить коэффициенты, но все же часто используют планы ДФЭ 2^n-k , где k – показатель дробности плана ПФЭ. При k = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полуреплика плана ПФЭ. Так при k=1 для плана ДФЭ 2^6-1 N =2^6-1 = 32, при k=2 для плана ДФЭ 2^6-2 N =2^6-2 = 16 и такой план называют четвертьрепликой, при k=3 для плана ДФЭ 2^6-3 N =2^6-3 = 8. При выборе дробности плана k необходимо учитывать, что число опытов должно быть больше числа членов уравнения. В рассматриваемом случае величина k должна быть такой, что бы удовлетворялось условие

.

План ДФЭ строится, как и для плана ПФЭ, но с меньшим числом факторов. Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так чтобы сохранялась ортогональность плана. Это обеспечивается, если оставшиеся факторы варьируются по выбранному генерирующему соотношению, например как произведение каких-либо факторов из первой группы

Графическое изображение планов ПФЭ 2³ и ДФЭ 2^3-1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 10. План ПФЭ 2³ представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ 2^3-1 – проекциями этого куба на три плоскости. То есть из восьми узлов выбираются четыре (рис. 10, а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ 2^3-1 (рис. 10, б).

Рис. 10. Графическое изображение планов ПФЭ 2³ и ДФЭ 2^3-1 в факторном пространстве

Планы ДФЭ, как и планы ПФЭ, являются рототабельными. Планы ДФЭ могут быть как насыщенными так и ненасыщенными.

Достоинство планов ДФЭ заключается и в том, что если построенный на его основе неполный полином не удовлетворяет требованиям по точности, то план ДФЭ легко достраиваются до плана ПФЭ, без потери информации прежних опытах, с формированием более точного полинома.

Критерий Фишера

Важным моментом анализа результатов факторного эксперимента является сопоставление дисперсии двух совокупностей данных эксперимента. При этом определяется можно ли относить эти совокупности к реализациям одной и той же задачи.

Обозначим через  и  дисперсии выборок  и ,  и  — выборочные оценки дисперсий  и :

;

,

где

 — выборочные средние выборок  и .

Дополнительное предположение при этом, что: выборки  и  являются нормальными.

Статистика критерия Фишера:

Рассматриваемым выборкам соответствуют степени свободы f₁ = n – 1,

f₂ = m – 1. При выборки нумеруются таким образом, что .

Ниже приведена таблица значимости в соответствии с критерием Фишера. Если отношение F оказывается больше приведенного в таблице, то совокупности нельзя рассматривать как реализации одной задачи.

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.05

f₁ - число степеней свободы большей дисперсии, f₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии

	f1
f2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15
1	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	245.95
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.43
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.70
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.86
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.62
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.94
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.51
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.22
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.01
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.85
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.72
12	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.62
13	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
19	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20

104