3.4. Нормальное распределение

При использовании непрерывного значения плотности вероятности при-веденные выше формулы для моментов распределения из сумм превращают-ся в интегралы.

; (10)

.

Можно доказать, что параметр m в законе Гаусса – математическое ожида-ние величины Х, а параметр  – это ее среднее квадратичное отклонение.

Итак, величины для дискретных и непрерывных распределениях вполне определенным образом связаны между собой. Наиболее распространенной оценкой погрешности является оценка с помощью среднеквадратической погрешности , которую часто называют стандартной погрешностью. Если число измерений весьма велико, то переход от дискретных к непрерывным оценкам не вызывает существенных проблем. Однако, если число измерений не очень велико, при оценке дисперсии возникает проблема получения так называемой несмещенной оценки. Перед тем, как перейти непосредственно к вопросу обработки опытных данных, рассмотрим указанную проблему.

При определении математического ожидания и дисперсии из опытных данных к получаемым оценкам предъявляется два основных требования:

1. Оценки должны быть состоятельными. Это означает, что при увели-чении числа опытов они должны сходиться к точным значениям m_x и D[X].

2. Оценки должны быть несмещенными, то есть не должно быть систе-матического отклонения от точных значений.

Опуская соответствующие выкладки, найдем, что смещенной оказывается лишь оценка среднеквадратической погрешности , которая должна определяться по скорректированной формуле

 =. (11)

Появление в знаменателе величины n – 1 вместо n связано с так назы-ваемым «центрированием», которое позволяет считать n_S, определенное по формуле (11), приближенным значением дисперсии, являющейся параметром нормального распределения.

3.6. Оценки точности и надежности математического ожидания

3.6.1. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Обычно, помимо нахождения математического ожидания величины, не-обходимо также оценить количественно его точность и надежность. Для такой оценки в статистике пользуются понятиями доверительного интервала и доверительной вероятности.

Однако, прежде чем перейти непосредственно к поставленной задаче, заметим, что оценки, о которых мы здесь будем говорить, относятся к математическому ожиданию. Итак, пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_X и дисперсией D_X . Над этой величиной проводится n независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое наблюденных значений Х. Если обозначить результат i-го опыта через X_i, то совокупность величин X_i представляет собой n независимых случайных величин, каждая из которых распределена по одному и тому же закону. Обозначим среднее арифметическое величин X_i через Y.

.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий.

Поэтому

m_Y = M[Y] = = . (12)

Математическое ожидание дисперсии суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий

. (13)

Теперь перейдем к определению понятий доверительного интервала и доверительной вероятности.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка . Назначим некоторую вероятность , для которой событие можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого

. (14)

Тогда диапазон реально возможных значений ошибки, возникающей при замене а на будет ; вероятность бóльшей по абсолютной величине ошибки равна 1- .

Иначе можно записать (23) следующим образом:

. (15)

Это означает, что с вероятностью  неизвестное значение параметра а попа-дает в интервал .

Введенную таким образом вероятность принято называтьдоверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом. Границы интервала называют доверительными границами.

При известном законе распределения величины а нахождение доверите-льных границ для заданного значения  не вызывает затруднений. Но обыч-но это распределение априори не известно. Мы, однако, будем считать, что для рассматриваемой величины справедливо нормальное распределение.

Тогда на основании результатов n опытов получим оценки для математичес-кого ожидания и дисперсии

; . (16)

Далее задача решается следующим образом. По определению функции Лапласа

= , (17)

где - среднее квадратичное отклонение оценки.

Положим, что , где k – целое число. Пусть k = 2, 3. Получим соответствующие значения . Будем иметь дляk = 2 =0,954, а для k =3 - =0,997. Оценка, соответствующаяk = 2, используется наиболее часто. С учетом округления она соответствует 95% вероятности того, что отклонение рассматриваемой случайной величины от оценки ее математического ожидания не превышает 2, то есть доверительная вероятность для доверительного интервала 2 равна 95%. Соответственно, для доверии-тельного интервала 3 доверительная вероятность равна 99,7%. Этой оценкой пользуются, если необходима более высокая точность. В принципе, по формуле (26) можно определить доверительную вероятность для любого доверительного интервала.

Существуют более точные методы оценки в случае отклонения от нормального распределения. Они могут привести к заметной корректировке результатов, если количество опытных точек мало.