3.9. Планирование эксперимента с точки зрения анализа ошибок

Смысл настоящего раздела состоит в пояснении того положения, что перед проведением эксперимента необходимо изучение количественной ошибки результата в зависимости от ошибок отдельных измерений. Это позволяет выбрать приборы, точность которых удовлетворяет требованиям эксперимента в целом и выбрать правильный план его проведения.

Пример1. Получена проба смеси газов неизвестной пропорции. С помощью уравнения состояния идеального газа

pv = (R/M)T

где

p- давление, v – удельный объем, T- абсолютная температура, (R/M) – индивидуальная газовая постоянная для рассматриваемой смеси. Последнюю величину требуется определить.

Имеющиеся приборы:

Манометр со шкалой 0 – 10 ата, половина наименьшего деления 0,1 ата (будем считать, что она соответствует 95% отклонений). Температура 4^oC (277 K), ошибка 7К. Внутренний объем сосуда – 0,028 м³ – точная величина. Удельный объем газов – 0, 0624 м³/кг. С какой точностью необходимо определить массу пробы, чтобы с вероятностью 0,95 ошибка в определении R/M не превышала 3%?

R/M =pv/T.

Тогда имеем

s_R/R = [(s_p/p)² + (s_v/v)²+ (s_T/T)²]^0,5

Будем считать, что опыт проводится при 10 ата.

Тогда s_v/v = [(s_R/R)² - (s_p/p)²- (s_T/T)²]^0,5 = (0,03² – 0,01² – 0,025²)² = 0,014

Значит относительна ошибка в определении массы также должна составлять не более 0,014. Полная масса газа в сосуде при р = 10 ата 4500 г . Значит ошибка не должна превышать 63 г. Это весьма тяжелое условие идля взвешивания будут необходимы особо точные весы.

Заключение

Мы завершили этот раздел простейшими примерами обработки опытных данных и получения регрессионных (интерполяционных) зависимостей, а также определением погрешности функции, исходя из заданных погрешностей аргументов. При этом молчаливо предполагалось, что мы реально можем получить набор экспериментальных точек, обеспечивающий возможность реализации использованного метода наименьших квадратов. При этом не будем забывать о том, что повышение точности обеспечивается повторением опытов, то есть увеличением массива опытных данных

Однако, во многих случаях сложность проблемы (процесса) такова, что число аргументов и функций для описания процесса настолько велико, что получить необходимый первичный объем опытных данных меняя все аргументы практически невозможно.

Тогда встает вопрос о том, как проводить эксперимент, чтобы получить минимально необходимый объем данных для построения описания процесса.

Подобная задача носит название планирования эксперимента. Рассмотрение этой проблемы во всей полноте достаточно сложно. Поэтому в следующем разделе мы попытаемся дать о ней общее представление в максимально простой форме.

Раздел 4

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Определения понятия «эксперимент».

Прежде всего полезно было бы дать определение понятия «эксперимент». Однако, попытка дать строгое определение этого понятия «в достаточно общей и к тому же краткой форме практически невозможно». Некоторые считают, что лучше пользоваться метафорами. Пример метафорического определения дал известный французский ученый-экспериментатор Кювье: «Наблюдатель слушает природу, экспериментатор вопрошает и принуждает ее разоблачиться».

Приведем здесь все же одно из возможных определений

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

2. Примеры «хороших» и «плохих» экспериментов

Хотя определение понятия научного эксперимента вызывает трудности, примеры хорошо и плохо поставленных экспериментов привести достаточно легко. Следуя монографии [1] , рассмотрим один из широко известных примеров – взвешивание трех объектов a, b, c на аналитических весах.

а) традиционная схема (табл.1)

(Кстати сказать, схема, приведенные в таблицах 1, 2 , называются матрицами планирования. В обеих таблицах каждая строка задает условия проведения одного опыта. Обозначение «+1» указывает на проведение с объектом действия, а «-1» на отсутствие действия

Таблица 1. Традиционная схема взвешивания трех объектов

номер опыта	a	b	c	результат взвешивания
1 2 3 4	-1 +1 -1 -1	-1 -1 +1 -1	-1 -1 -1 +1	у0 у1 у2 у3

Традиционная схема выглядит следующим образом. Вначале выполняется холостое взвешивание для определения нулевой точки весов. Затем поочередно взвешивается каждый из объектов. Такая последовательность действий соответствует так называемому однофакторному эксперименту. Изучается поведение каждого фактора в отдельности. Масса каждого из объектов определяется по результатам двух опытов: взвешивания

самого объекта и холостого опыта. Массы объектов А_i определяются формулами

А_i = y_i – y₀ (1)

Дисперсия результата взвешивания такова

² {A_i} = ² {y_i – y₀} = 2²{y} (2)

где {y} – ошибка взвешивания

Теперь проведем процедуру другим способом, используя схему, приведенную в табл.2. Здесь, как и в предыдущем случае, каждая строка задает условия проведения единичного опыта.

Таблица 2. Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов

номер опыта	a	b	c	результат взвешивания
1 2 3 4	+1 -1 -1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	у1 у2 у3 у4

Разница с предыдущим случаем состоит в том, что вместо «холостого» взвешивания проводится взвешивание всех трех образцов вместе. Определим по результатам опытов массы объектов

А₁ =

А₂ = (3)

А₃ =

Для помнящих правила действий с матрицами заметим, что числители выражений (3) получены путем умножения элементов последнего столбца на элементы столбцов a, b и c. Учитывая смысл величины у₄, заметим, что масса объекта, определяемого по одной из формул (3), входит в нее дважды, что приводит к появлению в знаменателе числа 2, а массы остальных объектов сокращаются. и, таким образом, не влияют на результат.

Определим теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания. Сделаем это, например, для 1-го объекта.

² {A} = ² {} = 4²{y}/ 4 = ²{y} (4)

Аналогичный результат получается и для объектов b и c.

Таким образом, дисперсия получилась вдвое меньше, хотя количество опытов осталось тем же. Причина увеличения точности состоит в том, что в первом варианте масса образца определялась как результат двукратного взвешивания, а во втором варианте – из четырехкратного. Вторую схему эксперимента можно назвать многофакторной, поскольку при вычислении масс мы оперируем всеми факторами (объектами). Теперь перейдем к последовательному изложению основных определений, используемых в рассматриваемом разделе науки.