Раздел 3. Элементарные статистические оценки результатов измерений и их аппроксимация

3.1 Задачи измерений и их точность

Для измерения любого свойства физического объекта необходима некоторая единица измерения (эталон). Операция сравнения исследуемой величины с эталоном называется измерением.

Результат измерения всегда содержит некоторую погрешность. оценка которой является необходимым элементом операции.

Принято различать прямые и косвенные измерения. В большинстве случаев измерения проводятся косвенным образом, то есть искомая величина находится путем выполнения некоторых математических действий над результатами прямых измерений и погрешность при этом е определяется путем математических операций с исходными погрешностями.

Точное значение погрешности определить невозможно. Реально можно указать( лишь интервал возможных значений измеряемой величины, внутри которого расположено ее истинное значение.

х_изм - х₁ < х_ист < х_изм + х₂ (1)

После n независимых измерений за истинное значение результата принимается среднее арифметическое результатов единичных измерений.

х = (х₁+ х₂+ х₃+ х₄+….+ х_n)/n . (2)

В единичных измерениях, проявляется роль так называемых случайных погрешностей, которые невозможно устранить. Они подчиняются особым – статистическим – закономерностям, которые позволяют оценить значения погрешностей и их влияние на конечный результат измерений.

Под точностью измерений понимается их качество, отражающее близость результатов к точному значению измеряемой величины.

Если обозначить общую относительную погрешность через , то точность принимают равной 1/.

Заметим, что существенное увеличение точности единичного измерения всегда связано со значительными трудностями и расходами. Поэтому не следует требовать от измерений большей точности, чем это необходимо для решения поставленной задачи.

Но иногда повышение точности измерений приводило к качественно новым результатам. Например, проведенные Рэлееем в 1894 г. измерения плотности азота, выделенного из воздуха, показали, что она выше плотности азота, полученного разложением аммиака. Это привело к открытию аргона.

В качестве другого примера можно привести открытие в 1932 г. тяже-лой воды, в результате повышения точности измерения плотности.

3.2 Некоторые элементарные сведения из теории вероятностей

3.2.1.Случайные погрешности

Погрешности принадлежат к классу та называемых случайных величин, значение которых меняется от опыта к опыту. Обычно можно указать ин-тервалы, в которых они меняются, и как часто попадают внутрь интервала. В результате наблюдения можно установить, какие значения появляются более, а какие менее часто. В результате таких наблюдений можно установить так называемый закон распределения, который для случайной величины - столь же определенная характеристикой, как для обычной величины ее значение.

Рассмотрим характерный пример случайного события, который фигури-рует практически во всех пособиях по теории вероятности. Пусть имеется урна, в которой содержатся абсолютно одинаковые шары, отличающиеся только цветом – черные и белые. Поэтому, цвет шара, вынутого из урны, является случайной величиной, которая может принимать два значения, для обозначения которых можно условно использовать 0 и 1. После фиксации цвета вынутого шара его возвращают обратно в урну и перемешивают шары. Если в урне m белых и n черных шаров, то очевидно, что вероятность P(n) вытащить черный будет равна n/(m + n), а белый - P(m) = m/(m+n). Сумма этих величин, естественно, равна 1. Практически, однако, ситуация бывает обратной. Мы не знаем заранее доли белых и черных шаров и должны ее определить по частоте их появления. Пусть мы провели N испытаний и при этом К раз доставали белый шар. Величина K/N называется частотой появле-ния белого шара. Основной закон теории вероятностей – закон больших чисел – говорит о том, что при неограниченном росте числа испытаний час-тота появления события стремится к его вероятности. Однако, разность P(m) – K/N  оказывается пропорциональной 1/, то есть убывает дос-таточно медленно.

Необходимость возвращения вынутого шара обратно в описанном выше опыте определяется нашим желанием восстановить исходную ситуацию. При этом каждый дальнейший результат испытаний не будет зависеть от предыдущих. Например, если мы вынули в первый раз белый шар и не вернули его обратно, то для следующего испытания мы получим уже новые вероятности - P* (n) = n /(m + n – 1), P*(m - 1) = (m – 1)/(m + n – 1). Эти вероятности называются условными, то есть зависят от новых начальных условий, которые возникли в результате предыдущего испытания. Посмотрим, какова же будет вероятность вынуть следующим снова белый шар. Пусть мы N раз проводили указанную операцию. K раз мы доставали белый шар, и в этом случае не возвращали его обратно и вынимали следующий, который оказался белым L раз. Тогда мы имеем частоту появления этого события L/N . Иначе можно записать L/N = K/N L/K. Каждая из этих частот является приближением к вероятности соответствующего события. Запишем полученное соотношение в виде.

Р(mm) = P(m) P *(m) (3)

В общем виде полученный результат можно сформулировать так

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленного в предположении, что первое событие состоялось.

Очевидно, что для независимых событий условная вероятность заменяется на вероятность и формула (1) приобретает вид

P(mm) = [P(m)]²

Эта формула умножения вероятностей, которая справедлива для любого числа независимых событий.

Вероятности простых событий подчиняются двум достаточно очевид-ным законам:

1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятно-стей этих событий. Очевидно также, что сумма вероятностей для совокупности всех рассматриваемых событий равна 1.

2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Оперируя вероятностью события, мы практически можем считать, что количество испытаний очень велико и их можно рассматривать как независимые. Поэтому вероятность k-кратного повторения результата, имеющего вероятность Р определяется величиной Р_k = P^k.