3.3. Классификация случайных погрешностей и законы распределения

Рис.1. Гистограмма и кривая распределения.

Допустим, что сделано n измерений одной и той же величины х одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности (такие измерения называются равноточными). Пусть среднее значение измеряемой величины равно . Совокупность измеренных значений разобьем на интервалы х, расположенные симметрично относительно .

k₁(), k₂(+ x), …, k_p (+p x); k₂(- x),…, k_q (-q x)

Здесь k_i , k_j - целые числа, показывающие, сколько раз измеренные значения попадали в соответствующий интервал. Очевидно, что k_i + k_j = n,

Покажем на оси ординат интервалы +p_i x -q_j x, а по оси ординат отло-жим соответствующие величины частот. В результате получим так называе-мую гистограмму – совокупность прямоугольников, ширина которых равна  x, а высоты - частотам k_i , k_j. Если разделить k_i на n и на  x, то в этом случае площадь каждого прямоугольника будет численно равна вероятности попадания результатов наблюдения в соответствующий интервал x , а сумма площадей всех прямоугольников равна единице. Вероятность того, что величина х не превышает х₀, дается суммой площади всех прямоугольников в интервале от -  до х₀. Обозначим эту величину через F(x₀).

Огибающей гистограммы является ступенчатая линия, переходящая при  x 0 в кривую, которая называется кривой распределения, а соответствующая функция - плотностью вероятности у. Площадь под участком кривой над  х будет соответствовать вероятности попадания результата измерения на участок х. Если проинтегрировать кривую распределения от -  до х, то получим введенную выше функцию F. F – интегральная функция распределения вероятности.. Гистограмма будет истинной кривой распределения для дискретной случайной функции. Наиболее часто эта кривая описывается законом Гаусса, который носит название нормального распределения и выражается формулой

f

(8)

Величина ² называется

дисперсией. Ниже будет

показано, что она полно-

стью соответствует опре-

делению дисперсии, дан-

ному выше. Смысл ее

наглядно поясняется кри-

выми на рис.2. Положим

для удобства, что m = 0.

Рассматривая кривые на

рис.2 видим, что чем

Рис.2. Кривые Гаусса для различных меньше  , тем в более

значений дисперсии. узкий интервал попадает

преобладающая часть измерений х, т.е. уменьшается разброс точек. Как уже говорилось выше, величину у называютплотностью вероятности. Смысл такого названия достаточно ясен. Вероятность р получения результата, попадающего в выбранный интервал  х равнаfх.

Определим теперь функцию F для нормального распределения. Для упрощения положим m = 0.

.

Введем так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(х)

Ф(х)= (9)

Тогда получим

F= +=