Приложение3 Использование асимптотики и интерполяции

1. Асимптотические зависимости

При анализе конкретных задач исследователь часто попадает в следую-щую ситуацию. Общее решение задачи, справедливое во всем возможном диапазоне изменения параметров задачи практически невозможно. Однако, оно оказывается возможным, если искать решение, устремив к нулю или к бесконечности некоторые параметры Практически это означает возмож-ность считать данный параметр очень большим или очень малым по сравне-нию с выбранным масштабом.

Такое положение может возникать как при теоретическом рассмотрении задачи на базе решения дифференциальных уравнений, так и при анализе результатов экспериментального исследования. При этом возможны два ва-рианта:

1.Параметр или физическая величина, для которых сделано соответствующее предположение, иногда исключаются из рассмотрения, что позволяет умень-шить число безразмерных аргументов при обобщении опытных данных.

2. Зависимость от данного параметра или физической величины оказывается достаточно простой.

Во многих практических случаях мы используем этот подход, не акцентируя на этом внимание.

Что касается первого варианта, то наиболее распространенным являет-ся исследование процесса в так называемых установившихся условиях. Та-кими условиями могут быть, например,  (время)   или, для канальных течений, L (длина)  . Все решения стационарных задач теплопроводности можно рассматривать как асимптотические решения нестационарной задачи. При этом из общей формы решения выпадает число Фурье (Fo.= a /L²). Теплоотдача вдали от входа в канал является асимптотическим решением общей задачи теплообмена в канале при L . Здесь из общей формы ре-шения выпадает число Гретца (Gz = L/DPe). Для теплоотдачи на входном участке при ламинарном течении существует асимптотическое решение Левека, справедливое при L  0.

Все эти решения обладают также свойством автомодельности, кото-рое выражает отсутствие зависимости решения от какого-либо параметра, выпадающего из результирующей зависимости вследствие особенностей рассматриваемого процесса.

Приведем простой пример зависимостей, упомянутых выше. Пусть мы имеем круглую трубу с постоянной температурой стенки. В трубу посту-пает ламинарный поток со сформировавшимся параболическим профилем скорости. На рис.1 представлены результаты двух теоретических решений. Линия 1 соответствует решению для локальной теплоотдачи вдали от входа. Оно выражается формулой Nu = 3,66. Линия 2 соответствует решению Левека для малых длин Nu= 1,615 (Pe d/l)^1/3 . Наконец, линия 3 соответствует теоретическому решению для всего диапазона изменения числа Gz

Как видно из рис.1 общее точное решение, полученное численным интегри-рованием , фактически состоит из двух участков, где справедливы асимпто-тические решения и среднего участка, который можно рассматривать, как интерполяцию между двумя асимптотическими решениями. В данном слу-чае интерполяция является монотонной и, вообще говоря, могла бы быть легко построена и в отсутствии точного решения.

Следующим примером обсуждение вопроса о связи асимптотики с автомодельностью могут служить автомодельные решения уравнений пограничного слоя, которые были рассмотрены выше. Одним из наиболее известных теоретических решений уравнений пограничного слоя является решение Блязиуса для продольного обтекания пластины. Выше было показано, что в качестве аргумента в этом случае может быть использована безразмерная автомодельная координата z

,

Получение такой формы было следствием предположения о стремлении длины пластинки к бесконечности. При этом в задаче исчез заданный характерный размер. Решение это соответствует определению промежуточной асимптотики, поскольку на начальном участке пластины при малых числах Re уравнения пограничного слоя вообще не справедливы, а на конечном участке автомодельное решение также не справедливо, поскольку не дает возможности удовлетворить всем граничным условиям.