10.4. Решение уравнений эллиптического типа

● Простейшее уравнение эллиптического типа носит название уравнение Лапласа

,

(8)

где – оператор Лапласа.

● Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

(9)

Задача Дирихле для уравнения Пуассона:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри некоторой областиG уравнению (9), а на границе Г – граничному условию

,

(10)

где – заданная непрерывная функция.

Выбрав шаги hиlпоxиyсоответственно, строим сеткуи заменяем в каждом внутреннем узлепроизводные,конечно-разностными отношениями (5), а уравнение (9) конечно-разностными уравнениями

(11)

где .

Уравнения (11) вместе со значениями z_i,jв граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функцииz(x,y)в узлах(x_i,y_j).

Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и для случая равных шагов сетки l=h. В этих случаях уравнения (11) записываются следующим образом:

,

(12)

а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции.

При уравнение становится уравнением Лапласа, и соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид:

(13)

Погрешность (т.е. остаточный член ) замены дифференциального уравнения разностным для уравнения Лапласа оценивается неравенством, где.

Пример: Найти приближенное решение уравнения, удовлетворяющее условиюс точностью ε=0.01.

Данная область представляет собой эллипс. Используя симметрию начальных условий, построим решение только вIчетверти.

Возьмем шагh=1и составим таблицу значенийxиy:

x	0	1	2	3	4	4.71	5
y	3	2.94	2.75	2.4	1.8	1	0

Вычислим значения функции z(x,y)на границе:

Определим значения функции во внутренних точках:

Решая систему, получим:

z₁=4.02, z₂=4.33, z₃=4.81, z₄=5.30, z₅=4.42, z₆=4.56, z₇=4.86

z₈=5.20, z₉=5.5, z₁₀=4.52, z₁₁=4.63, z₁₂=4.87, z₁₃=5.14, z₁₄=5.28

Найденные значения, вместе со значениями функции в граничных точках, будем рассматривать как начальные приближения искомой функции.

Для уточнения найденных значений, воспользуемся процессом усреднения Либмана. Так как граничные точки лежат за пределами области, для уточнения их значений воспользуемся формулой

В начале вычислим значение δ для каждой точки. Так как точки AиHлежат одновременно в узлах сетки и на криволинейной границе области,δ_A=δ_H=0. Определим остальные расстояния переноса:

δ_B=3–2.94=0.06, δ_C=3–2.75=0.25, δ_D=3–2.4=0.6, δ_E=2–1.8=0.2, δ_F=5–4.71=0.29

Тогда процесс уточнения значений функции будем вести по следующим формулам:

Процесс пересчета продолжаем до тех пор, пока не достигнем требуемой точности, т.е. для всех внутренних и граничных точек будет выполняться неравенство: .

10.5. Решение уравнений параболического типа

Уравнение параболического типа иначе называют уравнением теплопроводности. Рассмотрим наиболее простой вид такого уравнения и сформулируем задачу:

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(14)

начальному условию

(15)

и краевым условиям

(16)

(задача о распространении тепла в однородном стержне длины s).

Введя новую переменную , уравнение (14) можно преобразовать к виду . В получившемся уравненииa=1, поэтому в дальнейшем будем полагать, чтоa=1.

В полуполосе построим параллельные прямые

Приближенно заменим в каждом внутреннем узле (x_i,t_j)производную разностным отношением:

(17)

а производную одним из двух разностных отношений:

		(18)
		(19)

Тогда для уравнения (14) при а=1 получаем два типа конечно-разностных уравнений:

Явная схема		(20)
Неявная схема		(21)

Умножим обе части на l:

Обозначим и приведем подобные:

Явная схема		(22)
Неявная схема		(23)

Так как , то при выборе числа σ следует учитывать два обстоятельства:

1) погрешность замены дифференциального уравнения разностным, должна быть наименьшей;

2) разностное уравнение должно быть устойчивым.

Уравнение (22) будет устойчивым, если , а уравнение (23) – при любом σ. Наиболее удобный вид уравнение (22) примет при:

(24)

и при :

(25)

Уравнение (25) дает более высокую точность решения по сравнению с уравнением (24). Но уравнение (24) имеет более простой вид. Кроме того, соотношение шагов hиlприводит к большему количеству вычислений, т.к. шагlдолжен быть значительно меньше шагаh.

Пример:Используя разностное уравнение (24) найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условиям:,.

Решение:

По аргументу хвыберем шагh=0.1, т.к. уравнение (24) получено при, то по аргументуtполучаем шаг. Составим таблицу и, пользуясь начальными и краевыми значениями, заполним часть таблицы:

j	x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	t
0	0	1	0,951	0,809	0,588	0,309	0,000	-0,309	-0,588	-0,809	-0,951	-1
1	0,005	1										-1
2	0,01	1										-1
3	0,015	1										-1
4	0,02	1										-1
5	0,025	1										-1
6	0,03	1										-1
7	0,035	1										-1
8	0,04	1										-1
9	0,045	1										-1

Первый столбец заполняем согласно первому граничному условию: , а последний столбец – согласно второму граничному условию:. Первую строку таблицы заполняем, пользуясь начальным условием. Остальную часть таблицы – по формуле (24):

В итоге получим таблицу:

j	x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	t
0	0	1	0,951	0,809	0,588	0,309	0,000	-0,309	-0,588	-0,809	-0,951	-1
1	0,005	1	0,905	0,769	0,559	0,294	0,000	-0,294	-0,559	-0,769	-0,905	-1
2	0,01	1	0,885	0,732	0,532	0,280	0,000	-0,280	-0,532	-0,732	-0,885	-1
3	0,015	1	0,866	0,708	0,506	0,266	0,000	-0,266	-0,506	-0,708	-0,866	-1
4	0,02	1	0,854	0,686	0,487	0,253	0,000	-0,253	-0,487	-0,686	-0,854	-1
5	0,025	1	0,843	0,671	0,469	0,244	0,000	-0,244	-0,469	-0,671	-0,843	-1
6	0,03	1	0,835	0,656	0,457	0,235	0,000	-0,235	-0,457	-0,656	-0,835	-1
7	0,035	1	0,828	0,646	0,445	0,229	0,000	-0,229	-0,445	-0,646	-0,828	-1
8	0,04	1	0,823	0,637	0,437	0,223	0,000	-0,223	-0,437	-0,637	-0,823	-1
9	0,045	1	0,818	0,630	0,430	0,219	0,000	-0,219	-0,430	-0,630	-0,818	-1