Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Теперь введём новую переменную
|
x |
. |
1 |
x2 |
|
Выражая x через и подставляя в (264), получим
|
|
x 1 x2 |
|
, |
||
|
n 1 |
1 x2 |
4x |
n |
1 x2 . |
|
|
|
n 1 |
n |
n |
||
Подставляя сюда x |
1 2x2 , имеем |
|||||
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
n 1 |
1 (1 2xn2 )2 4xn n |
1 xn2 , |
n 1 |
4xn2 4xn4 4xn n |
1 xn2 , |
|
n 1 xn 2xn n , |
|
n 1 |
2 n . |
Отсюда следует, что
n |
2n 0 . |
Тогда
ln x |
ln |
|
1 x2 |
ln 2n |
|
1 x2 |
ln 2n x |
1 x2 |
, |
|
|
n |
|||||||
n |
|
n |
n |
|
0 |
n |
0 |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ln xn ln x0 n ln 2 ln |
1 x2 |
1 x2 . |
|
|
n |
|
0 |
Примеры численного расчёта ляпуновских показателей
Приведённые выше примеры, в которых для режимов сложной динамики удаётся аналитически найти ляпуновские показатели, являются исключительными. Как правило, для их определения приходится прибегать к численным методам. Рассмотрим несколько примеров численного расчёта ляпуновских показателей.
1. Отображение Эно.
Рассмотрим отображение Эно (165)
|
2 |
|
|
xn 1 |
1 axn |
b yn |
(165) |
|
yn 1 xn |
|
|
при «классическом» наборе параметров: a 1,4 и b 0,3. При таких параметрах это отображение имеет странный аттрактор (см. рис. 76).
Рис. 76. Странный аттрактор отображения Эно (165) при значениях параметров a 1,4 и b 0,3 .
2. Система Лоренца.
Система Лоренца задаётся уравнениями (110)
|
|
|
|
x ( y x) |
|
|
|
|
|
|
|
y r x y xz . |
(110) |
|
|
|
|
|
|
|
z bz x y |
|
|
|
|
|
|
|
|