Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

2) 0, , – предельный цикл (cм. рис. 114).

Рис. 114. Аттрактор в виде предельного цикла в трёхмерном фазовом пространстве.

3) 0,0, – двумерный тор (cм. рис. 115).

Рис. 115. Аттрактор в виде двумерного тора в трёхмерном фазовом пространстве.

4) ,0, – странный аттрактор (cм. рис. 116).

Рис. 116. Странный аттрактор в трёхмерном фазовом пространстве.

где a a(xn ) – матрица, составленная из частных производных от компонент векторной функции f (x) по компонентам вектора x :

Пренебрегая членами второго и более высокого порядка по xn и учитывая, что xn удовлетворяет уравнению (254), находим, что эволюция малого возмущения в линейном приближении описывается уравнением

Это позволяет ввести понятие о ляпуновских показателях по аналогии с тем, как это было сделано для потоков (241). Под ляпуновским показателем траектории xn будем понимать величину

где черта означает верхний предел.

Примеры аналитического расчёта ляпуновских показателей

1. Отображение «зуб пилы»

Из (262) видно, что производная f (x), везде, где она определена, равна 2, так что из (261) получаем

Отсюда можно сделать вывод, что т.к. 0 , то рассматриваемое отображение обладает хаотической динамипкой.