матан

24.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 – го порядка называется уравнение, приводимое к виду , где - неизвестная функция переменного ; - её производная. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида называют уравнениями в нормальной форме. Функция называется решением ду, если она непрерывно дифференцируема на и при всех из удовлетворяет уравнению . График решения ду называют интегральной кривой ду. Для ду , правая часть которого и ее частная производная по непрерывны в некоторой области , имеет место геометрическая интерпретация, называемая полем направлений. Если ду первого порядка , имеет решение, то решений у него бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде , – произвольная константа. Выражение называют общим решение ду 1-го порядка: при всех допустимых значениях функция является решением уравнения, =. Если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию , то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскивании решения ду , удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением. Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если функция и ее частная производная по непрерывны в области , ⊂, то на некотором интервале существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Общим решением ду 1-го порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция является решением ду при каждом фиксированном значении ; 2)каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию. Частным решением ду 1-го порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной . С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости OXY; частное решение – одна кривая из этого семейства, проходящая через точку . ДУ с разделенными переменными называется уравнение вида , - непрерывные функции своих аргументов в некоторой области их измерения. Соотношение является общим интегралом ДУ с разделенными переменными. Пример:; ; ; - общий интеграл. ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение, которое можно преобразовать к уравнению с разделенными переменными . Пример: ДУ с разделяющимися переменными. Если , то является решением. Если , то ; - общий интеграл. Пр.: ; ; - решение. - ; Но при С=0 y=0 – решение. Значит, – общее решение. Делением на , приводим - уравнение с разделенными переменными. Уравнение вида называется линейным ДУ первого порядка. Если , то уравнение называется однородным. Метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций, т.е. с помощью подстановки , , . Тогда . Подставляя выражения и в исходное уравнение, получаем: += или+=. Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е. решим ду =0. Итак +=0, т.е. =. Интегрируя, получаем: =+c, =. Подставляя найденную функцию в уравнение, получаем *=. Полученное уравнение в разделяющимися переменными. Решаем его: *=, = *, =+c. Возвращаясь к переменной , получаем решение =*. Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

25.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется дифференциальное уравнение вида: +++=0, где ,,, определены на . Если =0 на :=, то уравнение называется однородным. Иначе – неоднородным. =0 во всех точках промежутка то можно на нее поделить и мы получим уравнение вида: =++, разрешенное относительно , и соответствующее ему однородное уравнение =+. , – линейно независимые решения ду =+, что =+, ,. Пусть заданы функции , дифференцируемы на = – определитель Вронского или вронскиан . Если функции , линейно зависимы, то =0 на ; если же эти функции линейно независимы, то всюду на . Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида ++=, где , непрерывны на R, определено на . ++=0 – однородное линейное ду второго порядка с постоянными коэффициентами; ++=0 – характеристическое уравнение. Уравнение вида (1), где называется линейным неоднородным уравнением 2-го порядка. Уравнение (2) называется соответствующим однородным для уравнения (1). Теорема. Общее решение неоднородного уравнения = (3) равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения =0 и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (3). Пусть правая часть уравнения (3) имеет вид =, где и – алгебраические многочлены степени и соответственно; и – постоянные. В этом случае частное решение уравнения (3) можно найти в виде =, где , и – алгебраические многочлены степени не выше , а – кратность числа как корня характеристического уравнения =0 (если не является корнем последнего, то ). Многочлены и можно найти методом неопределенных коэффициентов. Метод на примере: =. Рассмотрим характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения: . Его корни , . Правая часть исходного уравнения является частным случаем выражения = при и =0, , т.е. . Число является однократным (простым) корнем характеристического уравнения. Тогда, согласно =, частное решение исходного уравнения можно найти в виде =, где – неизвестная постоянная (многочлен нулевой степени). Находим производные =+, =+, и подставляем , , в исходное уравнение: +--+=, =, . Получаем частное решение . Тогда согласно теореме общее решение исходного уравнения имеет вид =++.