Математика
.pdfФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
(Текстильный институт ИВГПУ)
Кафедра высшей математики и статистики
Методические указания по организации самостоятельной работы студентов
1 курса факультета альтернативных форм обучения обучающихся по направлению 080100
на осенний семестр по дисциплине «Линейная алгебра»
(контрольные задания)
Иваново 2013
Методические указания предназначены для студентов 1 курса факультета альтернативных форм обучения, обучающихся по направлению
080100 «Экономика» и изучающих линейную алгебру. Они содержат рекомендации по организации самостоятельной работы и задание для выполнения контрольной работы
Составитель: к.т.н., доц. Е.В. Виноградова Научный редактор: к.т.н., доц. И.А. Ломакина
Введение
2
Контрольная работа по линейной алгебре включает в себя 5 заданий. Перед выполнением контрольной работы необходимо проработать следующий теоретический материала по учебникам, представленный в списке литературы:
1.Матрицы и действия над ними.
2.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Определители n- го порядка.
3.Ранг матрицы.
4.Обратная матрица.
5.Системы линейных уравнений. Решение системы, совместные и несовместные системы, определенные и неопределенные системы.
6.Матричный метод решения системы линейных уравнений.
7.Метод Крамера.
8.Теорема КронекераКапелли.
9.Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений.
10.Исследование систем линейных уравнений.
11.Выпуклые множества точек. Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных неравенств с двумя переменными.
После того, как будут усвоены основные понятия, разобраны решения типовых задач, можно приступать к выполнению контрольной работы. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради и сдается в деканат факультета альтернативных форм обучения до 1 декабря.
Номер Вашего варианта - последняя цифра номера Вашей зачетной
книжки.
Последняя цифра 0 соответствует варианту 10. Например: шифр 002017 определяет вариант №7 и, следовательно, необходимо выполнить задания
1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7.
3
Литература:
1.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/ Под общ. Ред. В. И. Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2008.
2.Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В. И. Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2004.
3.Высшая математика для экономистов/ Под ред. Кремера Н.Ш.-
М.: ЮТИНА, 2000.
4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике:
полный курс/ Дмитрий Письменный.- М.: Айриспресс, 2000.
4
Пример выполнения контрольной работы
1. Вычислить матричный многочлен.
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
|
1 -1 |
|
||
1 |
3 |
B |
|
|
|
|
||||||
A B 3C, A |
|
|
|
, |
|
1 1 , C |
|
|
||||
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
- 2 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем A B . |
Умножение матриц возможно, если число |
столбцов |
||||
первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Матрица |
A имеет |
|||||
размерность 2 3 , |
матрица B - 3 2 . Умножение возможно, матрица D= A B |
|||||
будет иметь размерность 2 2. |
|
|||||
|
d |
|
d |
|
|
|
A B = D= |
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
21 |
d 22 |
|
||
Для определения d11 умножаем элементы первой строки матрицы А на |
||||||
соответствующие |
элементы первого столбца матрицы В и результаты |
|||||
складываем. |
|
|
|
|
|
|
d11=1 0 3 1 2 ( 2) 1,
Аналогично,
d12 1 1 3 1 2 1 6
d 21 1 0 0 1 1 ( 2) 2 d 22 1 1 0 1 1 1 0
1 |
6 |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
Найдем матрицу ЗС, каждый элемент которой равен произведению |
|||||
числа З на соответствующий элемент матрицы С. |
|||||
3 1 |
|
3 ( 1) |
|
3 - 3 |
|
ЗС= |
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
6 3 |
|
Матрицы A B D |
|
и |
ЗС |
имеют |
одинаковую размерность 2 2, |
||||||
поэтому можно найти сумму. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 6 |
|
3 - 3 |
|
-1 3 |
6 - 3 |
|
2 3 |
||||
A B ЗС= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
- 2 6 |
|
|
|
- 2 |
0 |
|
|
3 |
|
|
0 3 |
|
4 3 |
||
Ответ: A B |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗС= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2. Вычислить определитель 4го порядка.
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
0 |
5 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
2 |
-1 |
4 |
1 |
|
Для |
вычисления его воспользуемся свойством определителя, |
||||
позволяющим получить в 1-м столбце нули для элементов a31 и a41 .
Для этого элементы 1-й строки умножим на (-3) и сложим с соответствующими элементами 3-й строки. Затем элементы 1-й строки умножим на (-2) и сложим с элементами 4-й строки, величина определителя
при этом не изменится.
1 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
5 |
1 |
2 |
= |
0 |
5 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
0 -1 - 5 - 3 |
|||
2 -1 4 |
1 |
|
0 - 3 0 -1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме Лапласа определитель есть сумма произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Полученный определитель раскладываем по элементам первого столбца.
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
5 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
5 |
1 |
2 |
|
0 5 |
1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
=1 |
-1 - 5 - 3 |
0 |
-1 - 5 - 3 |
0 |
5 1 2 |
-0 |
5 1 2 |
= |
||||||||||||||||
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
0 -1 - 5 - 3 |
|
- 3 0 -1 |
|
- 3 0 -1 |
|
- 3 0 -1 |
|
-1 - 5 - 3 |
|
|||||||||||
|
2 -1 4 |
1 |
|
0 - 3 0 -1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 2
=-1 - 5 - 3 - 3 0 -1
Полученный определитель разложим по теореме Лапласа по элементам
первой строки.
5 |
1 |
2 |
=5 |
|
5 |
- 3 |
|
1 |
|
1 - 3 |
|
2 |
|
1 |
- 5 |
|
5 (5 0) 1 (1 9) 2 (0 15) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
-1 - 5 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- 3 |
0 -1 |
|
|
0 |
-1 |
|
|
|
- 3 -1 |
|
|
|
- 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=25+8-30=3.
6
3.Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формуле Крамера.
x 2 y z 34x 5 y 7z 93x y z 2
а) Матричный метод.
Составим матрицы: из коэффициентов при неизвестных, из свободных членов, из неизвестных:
|
1 |
2 1 |
|
3 |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
4 |
5 7 |
|
, B |
9 |
|
, |
X y . |
|
|
3 |
1 1 |
|
2 |
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 5 ( 1) 2 7 ( 3) 4 1 1 ( 3) 5 1 4 2 ( 1) 1 7 1 27.
Т.к. A 0, то система имеет единственное решение. Его можно найти
по формуле
X A 1 B ,
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
21 |
31 |
|
|
где A 1 |
|
|
A |
A |
A |
|
- обратная матрица для матрицы А. |
||
|
|
|
|||||||
|
|
A |
|
|
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
Находим алгебраическое дополнение элементов матрицы А.
A ( 1)1 1 |
5 |
7 |
|
|
5 7 12 , |
||||||
11 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
A |
|
( 1)1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
( 4 21) 17 , |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
12 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
( 1)1 3 |
4 5 |
4 15 19 , |
|||||||
13 |
|
|
3 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
A ( 1)2 1 |
|
|
( 2 1) 3 , |
||||||||
|
21 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
A |
|
( 1)2 2 |
|
|
|
|
1 3 2, |
||||
|
|
1 |
|
|
|
||||||
22 |
|
|
3 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
( 1)2 3 |
1 2 |
|
(1 6) 7 , |
||||||||
23 |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 1 |
|
|
|
|
||||||
A |
( 1)3 1 |
|
|
14 5 9 , |
|
|||||||
31 |
|
5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
A |
( 1)3 2 |
1 1 |
(7 4) 3, |
|||||||||
32 |
|
4 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||
A |
( 1)3 3 |
|
|
5 8 3. |
|
|||||||
33 |
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
3 |
9 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда A 1 |
|
|
|
|
|
17 |
2 3 . |
|||||
27 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
19 |
7 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляем найденную обратную матрицу в формулу решения:
|
|
|
|
12 |
3 |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
12 3 3 9 9 ( 2) |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
17 |
2 3 |
|
|
9 |
|
|
|
17 3 2 9 ( 3) ( 2) |
|
|
||||
27 |
27 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
19 |
7 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 3 ( 7) 9 ( 3) ( 2) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
27 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, решение системы x 1, y 1, z 0 .
б) Метод Крамера.
Решение системы находим по формулам Крамера:
x |
1 |
, y |
|
2 |
, z |
3 |
, где |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
|
27 , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
9 5 |
|
|
7 |
3 5 ( 1) 2 7 ( 2) 9 1 1 ( 2) 5 1 2 9 ( 1) |
|||||||||
|
|
|
|
2 1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 3 27,
8
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
2 |
4 9 |
7 |
1 9 ( 1) 3 7 ( 3) 4 ( 2) 1 ( 3) 9 1 |
||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 3 ( 1) ( 2) 7 1 27, |
|
|
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
3 |
4 5 |
9 |
1 5 ( 2) 2 9 ( 3) 4 1 3 ( 3) 5 3 |
||||||
|
3 |
1 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 2 ( 2) 1 9 1 0. |
|
|
||
Таким образом , x 27 1, |
y 27 1, z |
0 |
0 . |
||||||
27 |
|||||||||
|
|
|
|
|
27 |
27 |
|
||
4. Методом ЖорданаГаусса решить систему уравнений.
2x1 x2 x3 x4 1,x1 2x2 x3 4x4 2 ,
x1 7x2 4x3 11x4 5.
Вычисления удобнее оформить в виде таблицы.
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
b |
|
2 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
-1 |
4 |
2 |
1-й шаг: меняем местами 1-ю и 2-ю строки |
|
|||||
1 |
7 |
-4 |
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
-1 |
4 |
2 |
2-ой шаг: умножаем элементы 1-ой строки на (-2) и |
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
прибавляем к элементам 2-ой строки; умножаем элементы |
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
-4 |
11 |
5 |
1-ой строки на (-1) и прибавляем к элементам 3-ей строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
-1 |
4 |
2 |
|
0 |
-5 |
3 |
-7 |
-3 |
3-й шаг: умножаем элементы 2-ой строки на (-1/5) |
0 |
5 |
-3 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
-1 |
4 |
2 |
|
0 |
1 |
-3/5 |
7/5 |
3/5 |
4-й шаг: умножаем элементы 2-ой строки на (-2) и |
|
|||||
0 |
5 |
-3 |
7 |
3 |
прибавляем к элементам 1-ой строки; умножаем элементы |
|
|||||
|
|
|
|
|
2-ой строки на (-5) и прибавляем к элементам 3-ей строки |
|
|
|
|
|
|
9
1 |
0 |
1/5 |
6/5 |
4/5 |
|
0 |
1 |
-3/5 |
7/5 |
3/5 |
5-ый шаг: отбрасываем нулевую строку |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1/5 |
6/5 |
4/5 |
|
0 |
1 |
-3/5 |
7/5 |
3/5 |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующая система имеет вид:
1 x 0 x |
|
|
1 |
|
x |
|
|
6 |
|
x |
|
|
4 |
, |
|||||
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
0 x 1 x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
. |
|||||||||
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Система имеет бесконечное множество решений. x1, x2 базисные неизвестные,
x3, x4 свободные неизвестные.
Выразим базисные неизвестные через свободные:
x |
4 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
6 |
x |
, |
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
. |
|||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Свободные неизвестные могут принимать различные числовые значения.
Полагая x3 a, x4 b ( a,b производные числа), получим общее решение исходной системы:
x1 54 15 a 65 b,
x2 53 53 a 75 b,
x3 a,x4 b.
10