2.6. Полная система уравнений Мак­свелла

Каждое из рассмотренных выше уравнений описывает некоторые свойства электромаг­нитного поля. Однако анализ электромагнитных процессов возможен толь­ко на основе решения системы уравнений Максвелла. Большинство задач электродинамики решается с помощью системы уравнений в дифференциальной форме:

		(2.23)

Систему (2.23) необходимо решать совместно с материальными уравнениями, связывающими между собой векторы электромагнитного поля. В случае линейных изотропных сред эти уравнения имеют вид:

(2.24)

Уравнения Максвелла позволяют выделить следующие основные свойства электромагнитного поля:

• электриче­ское и магнитное поля тесно связаны между собой: любое изменение одного из них вызывает изменение другого;

• источниками электромагнит­ного поля являются заряды и токи;

• магнитное поле всегда вихре­вое, электрическое поле может быть вихревым и потенциальным;

• силовые линии электрического поля могут иметь истоки и стоки, си­ловые линии магнитного поля всегда непрерывны.

Из первого уравнения Максвелла следует, что линии магнит­ного поля охватывают линии полного тока, образуя с ними правовинтовую систему (рис. 2.3, а). Из второго уравнения Максвелла вытекает, что линии вихревого электрического поля охватывают линии вектора дВ/дt, образуя с ними левовинтовую систему (рис. 2.3, б).

Рис. 2.1. Взаимосвязи электрической и магнитной составляющих переменного электромагнитного поля

Уравнения Максвелла и материальные уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, созданное не­сколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей созданных каждым источником.

В дополнение к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме в ряде случаев необходимо использовать уравнения Максвелла в ин­тегральной форме:

		(2.25)

2.7. Классификация электромагнит­ных явлений по зависимости от времени

Система уравнений Максвелла охватывает всю совокупность электромагнитных явлений макроскопической элек­тродинамики. Их решение в общем виде вызывает значительные и, как правило, не преодолимые затруднения. Однако в ряде частных случаев эти уравнения упрощаются.

Самым простым является случай, когда электромагнитное поле не зависит от времени и нет тока проводимости. При этих условиях система уравнений Максвелла распадается на две независимые си­стемы:

			(2.26)
			(2.27)

Система уравнений (2.26) содержит только электрические величи­ны и описывает электростатическое поле. Система уравнений (2.27) описывает магнитостатическое поле. Это означает, что в рассматриваемом случае электрические и магнитные явления не­зависимы. Электростатические поля соз­даются неподвижными и неизменными по величине зарядами. Си­стема (2.26) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики. Уравнения (2.27) описывают поля постоян­ных магнитов.

Если среда имеет электропроводность, электрическое и магнитное поле перестают быть независимыми. Такое поле называется стационарным электро­магнитным полем. Система уравнений Максвелла в этом случае принимает вид

			(а)	(2.28)
			(б)

Уравнения (а) описывают магнитное поле, а уравнения (б) – электрическое. Они связанны между собой током проводимости, который вызывается электрическим полем и возбуждает магнитное поле.

Переходным от постоянного во времени к переменному является так называемое квазистационарное поле. Квазистационарные процессы протекают достаточно медленно, поэтому током сме­щения в первом уравнении Максвел­ла можно пренебречь. Это позволяет применить для описания переменного поля соотношения, полученные для поля, не изменяющегося во времени.

Ранее при рассмотрении системы уравнений Максвелла учитывались только токи проводимости и токи смещения, возникающие под действием электрической составляющей электромагнитного поля. При этом полагалось, что источники расположены достаточно далеко и их взаимодействием с полем в интересующей нас области можно пренебречь. Такое поле называется свободным. Задачи для свободного поля решаются проще всего.

Однако, если необходимо рассчитывать процессы возбуждения поля, влиянием источников пренебречь не удается. Поле, возбуждаемое источниками, называется вынужденным. Источники, создающее поле за счет преобразования иной энергии в энергию электромагнитного поля, называются сторонними. При решении задач электродинамики характеристики сторонних источников считаются известными.

Чаще всего влияние сторонних источников задается с помощью сторонних токов. Для их учета первое уравнение Максвелла надо представить в следующем виде:

(2.29)

где J_ст - плотность сторонних токов в рассматриваемой точке про­странства.

Кроме того, вместо сторонних токов можно задавать стороннюю напряженность электрического поля Е_ст. Под Е_ст обычно подразумевается напряженность электрического поля, соз­даваемая зарядами и токами, сосредоточенными за пределами рас­сматриваемой области.

Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних за­рядов. С учетом сторонних зарядов третье уравнение Максвелла записывается в виде

(2.30)

где ρ_ст - объемная плотность сторонних зарядов.