• Глава 21. Сети доверия

• 21.1. Теория Демпстера—Шефера

  • 21.1.1. Функции доверия

  • 21.1.2. Применение теории Демпстера—Шефера к системе MYCIN

• 21.2. Методика Перла

• 21.3. Сравнение методов неточных рассуждений

• 21.4. Резюме

• Рекомендуемая литература

• Упражнения

Глава 21.

Сети доверия

• 21.1. Теория Демпстера—Шефера

• 21.2. Методика Перла

• 21.3. Сравнение методов неточных рассуждений

• 21.4. Резюме

• Рекомендуемая литература

• Упражнения

В этой главе мы рассмотрим два количественных метода реализации логических рассуждений при наличии неопределенности в структурированном пространстве гипотез, базирующихся на теории свидетельств Демпстера—Шефера [Gordon and Shortliffe, 1985] и Байесовском формализме [Pearl, 1986]. Каждый из этих подходов предполагает, что на множестве гипотез каким-то способом определена функция доверия (belieffunction), а затем по мере накопления новых свидетельств применяется специфический механизм обновления текущего множества допущений.

Оба подхода будут описаны достаточно подробно, а затем будет проведено их сравнение. Будет показано, что оба метода имеют под собой более убедительное математическое обоснование, чем метод, базирующийся на эмпирических коэффициентах неопределенности, о котором шла речь в главе 9. Их можно рассматривать как альтернативу эвристическим методам обработки неопределенности, использованным в системах INTERNIST и CENTAUR, описанным в главе 13.

 

21.1. Теория Демпстера—Шефера

В теории Демпстера—Шефера (Dempster—Shafer) предполагается, что гипотезы — компоненты пространства гипотез 6 — являются взаимно исключающими, а набор гипотез — исчерпывающим. В терминологии авторов пространство гипотез 0 называется областью анализа (frame of discernment). Также предполагается, что мы располагаем средством получения свидетельств не только в пользу отдельных гипотез h₁.....h_n, принадлежащих 6, но и в пользу подмножеств гипотез A₁ ..., A_k, которые могут перекрываться.

Можно рассматривать эти свидетельства как элементы множества U и построить отображение

Г:U -> 2^O,

которое будет связывать каждый элемент в U с подмножеством пространства в. Такое подмножество называется фокальным элементом. Отметим, что предположение об исчерпывающей полноте набора гипотез означает, что ни один из элементов u U не отображается на пустое множество. Другими словами, для любого свидетельства существует хотя бы одна гипотеза, достоверность которой подтверждает это свидетельство.

Теория Демпстера—Шефера предлагает средства вычисления функции доверия на таких множествах гипотез и правила объединения функций доверия, сформулированных на основании разных свидетельств.

 

21.1.1. Функции доверия

В теории Демпстера—Шефера т — это функция присвоения базовых вероятностей (bра — basic probability assignment), которая определена на множестве 2^O значений из интервала [0,1], такая, что

m(пустое множество) = 0

и

[(т(Аi) - 1];

суммирование выполняется по всем

A_i 2^O.

Суммарное доверие Bel для любого фокального элемента А может быть найдено суммированием значений т по всем подмножествам в А. Таким образом, Bel является функцией, определенной на множестве 2^е значений из интервала [0,1], такой, что

Bel(A) = _{B A}m(B).

Ве1(0) всегда равно 1, независимо от значения т(O). Это следует из определения функции присвоения базовых вероятностей. Соотношение Ве1(O) = 1 означает следующее: можно с полной уверенностью утверждать, что в пространстве 0 обязательно имеется корректная гипотеза, поскольку по определению набор гипотез является исчерпывающим. Значение m(O) отображает вес свидетельства, еще не учтенного в подмножествах, входящих в пространство 0. Значения Bel и т будут равны для множеств, состоящих из единственного элемента.

Оценка вероятности фокального элемента А будет ограничена снизу оценкой доверия к А, а сверху — оценкой привлекательности А, которая равна 1 - Веl(A^с)> где A^с — дополнение к A.

Оценка привлекательности A, Рls(A), представляет степень совместимости свидетельства с гипотезами в А и может быть вычислена по формуле

Рls(A)= _{A^B не равно пустому множеству} m(B).

Поскольку определенная таким образом оценка привлекательности А есть не что иное, как мера нашего недоверия к -A, то можно записать:

Рls (A) = 1 - Вel (-A).

Значение оценки привлекательности А можно рассматривать как предел, до которого можно улучшить гипотезы из А при наличии свидетельств в пользу гипотез-конкурентов. Удобно рассматривать информацию, содержащуюся в оценке Bel для данного подмножества, в виде доверительного интервала в форме [Вel(A), Pls(A)]. Ширина интервала может служить оценкой неуверенности в справедливости гипотез из А при имеющемся наборе свидетельств.

Правила Демпстера позволяют вычислить новое значение функции доверия по двум ее значениям, базирующимся на разных наблюдениях. Обозначим Bel₁ и Веl₂ два значения функции доверия, которым соответствуют два значения функции присвоения базовых вероятностей т₁ и т_г. Правило позволяет вычислить новое значение т₁+т₂, а затем и новое значение функции доверия Веl₁+ Веl₂, основываясь на определениях, приведенных выше.

Для гипотезы А значение т₁+т₂(А) есть сумма всех произведений в форме т₁(Х) m₂(Y), где X и Y распространяются на все подмножества в в, пересечением которых является А. Если в таблице пересечений будет обнаружен пустой элемент, выполняется нормализация. В процедуре нормализации значение k определяется как сумма всех ненулевых значений, присвоенных в множестве 0, затем т₁+т₂(0) присваивается значение нуль, а значения m₁+m₂ для всех других множеств гипотез делится на (1 - k).

Таким образом,

m₁+m₂= _X^Y=A[m₁(X)m₂(Y)]/[1- X^Y=пустое множество{m₁(X)m₂(Y)}]

Следует учитывать, что значения т₁ и m₂ сформированы по независимым источникам свидетельств в пределах того же пространства гипотез. Обратите внимание и на тот факт, что вследствие коммутативности операции умножения правило Демпстера дает один и тот же результат при любом порядке объединения свидетельств.