Геометрия / Задания (пространство)

УДК 514.12 ББК 22.151я73

С232

Романов А.Н.

С232

Аналитическая геометрия в пространстве: Сборник заданий. – Омск: Изд-во КАН, 2007. – 24 c.

Сборник заданий предназначен для проведения работ со студентами специальностей 220100, 075200 по курсу ¾Геометрия¿.

УДК 514.12 ББК 22.151я73

Рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией и ученым Советом факультета компьютерных наук ОмГУ.

Тема 1

Векторное и смешанное произведение векторов

Задание: Даны 3 вектора в 3-мерном пространстве: a; b; c: Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, а так же смешанное произведение векторов a; b; c:

d

c

b

a

S

Векторное и смешанное произведение векторов.

Пример вычисления.

6 Тема 1.

af1; 2; 3g; bf¡1; 0; 4g; cf2; ¡1; 1g

1. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Она равна длине вектора d = a£b; равного векторному произведению векторов a и b. Векторное произведение находим по формуле:

3)+ k(0 + 2) = 8i ¡ 7j + 2k

Получаем: d = f8; ¡7; 2g

Теперь найдем длину вектора d по уже известной

Получаем: смешанное произведение трех векторов равно: (a; b; c) = 14:

Варианты заданий:

1.af1; ¡2; 1g; bf0; ¡1; ¡1g; cf2; 1; ¡1g

2.af¡3; 0; ¡2g; bf4; 5; 2g; cf2; 0; 2g

3.af¡5; 6; 0g; bf0; 2; 0g; cf4; 1; 3g

Задание: Даны 3 точки в 3-мерном пространстве: A; B; C: Найти уравнение прямой a; проходящей через точки A и B; а так же уравнение прямой b; проходящей через точку C параллельно прямой a:

B a

A

b

C

Уравнение прямой в пространстве.

Пример вычисления.

A(1; 1; 2); B(¡1; 0; 3) C(2; 1; 4):

1. Найдем уравнение прямой a; проходящей через точки A и B: Для этого воспользуемся уравненим прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки (x1; y1; z1); (x2; y2; z2) :

2. Найдем уравнение прямой b; проходящей через точку C параллельно прямой a: Для этого заметим, что числа, стоящие в знаменателях в уравнении прямой a - это координаты направляющего вектора пря-

мой a : Va = f¡2; ¡1; 1g:

Так как искомая прямая b должна быть параллельна прямой a; то и направляющие вектора этих прямых так же параллельны. Поэтому в качестве направляющего вектора прямой b можно взять направ-

ляющий вектор прямой a : vb = Va = f¡2; ¡1; 1g: Воспользуемся теперь каноническим уравнением

прямой, проходящей через заданную точку с известным направляющим вектором: в знаменателях этого уравнеия будут стоять координаты направляющего вектора:

Варианты заданий:

1.A(1; ¡1; 4); B(3; ¡1; 1); C(¡4; 3; 2)

2.A(2; 0; 3); B(¡4; 5; 4); C(4; 3; 5)

3.A(¡2; 6; 7); B(0; 2; 6); C(1; 3; 0)

4.A(0; 2; 5); B(4; 6; 2); C(3; 1; 5)

5.A(7; 1; ¡1); B(2; 3; ¡4); C(2; 2; 0)

6.A(5; ¡7; 5); B(2; ¡2; 0); C(5; 4; ¡2)

7.A(0; 2; 1); B(2; 3; ¡5); C(4; ¡5; 1)

8.A(¡3; ¡2; 3); B(1; 8; ¡1); C(¡4; 1; ¡2)

9.A(0; ¡1; 5); B(4; ¡3; 3); C(5; 2; 1)

10.A(2; 7; 0); B(2; 1; ¡6); C(2; ¡4; ¡1)

11.A(5; 10; 0); B(4; 0; 7); C(1; 3; 6)

12.A(¡1; 1; 5); B(5; 1; 1); C(¡5; 7; 2)

13.A(8; 2; 3); B(5; 7; 3); C(¡3; 1; 5)

14.A(4; 5; 0); B(4; ¡0; 4); C(¡2; ¡3; 2)

15.A(4; 2; 4); B(¡1; 1; 3); C(2; 3; 0)

16.A(0; ¡2; 5); B(2; 6; 0); C(1; 1; ¡5)

17.A(3; 1; ¡4); B(2; 0; ¡1); C(0; 2; 3)

18.A(4; ¡7; 2); B(2; 8; 0); C(1; ¡3; ¡2)

19.A(0; ¡2; ¡1); B(5; 3; ¡5); C(0; ¡5; 1)