Геометрия / Задания (пространство)
.pdf
Уравнение плоскости |
11 |
|
|
20.A(1; ¡2; ¡4); B(1; ¡2; 9); C(1; 1; ¡4)
21.A(2; ¡1; 6); B(4; ¡3; 7); C(¡5; 2; 3)
Тема 3
Уравнение плоскости
Задание: В 3-мерном пространстве задана прямая a и дана одна точка C: Найти уравнение плоскости ®; проходящей через прямую a и точку C; а так же вектор нормали n к плоскости ®:
a
B
A
C
Уравнение плоскости.
12 Тема 3.
Пример вычисления. |
|
|
Прямая a : x¡1 |
= y+1 |
= z¡3 |
2 |
1 |
4 |
Точка C : C(1; ¡2; 0) |
|
|
1. Найдем любые 2 различные между собой точки, лежащие на прямой a: Для этого возьмем два произвольных значения x; подставим их в уравнение прямой a и вычислим из полученных выражений значения y и z для каждой из точек:
A(1; y1; z1); B(3; y2; z2)
Для точки A :
1 ¡ 1 |
= |
y + 1 |
= |
z ¡ 3 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|||||
1 |
4 |
||||||||
0 = |
y + 1 |
|
= |
z ¡ 3 |
|
||||
|
|
||||||||
|
1 |
|
4 |
|
|||||
Получаем: x = 1; y = ¡1; z = 3: Точка A(1; ¡1; 3): Для точки B :
|
3 ¡ 1 |
= |
y + 1 |
= |
z ¡ 3 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
1 |
4 |
|
|||||||||
|
1 = |
y + 1 |
|
= |
z ¡ 3 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|||||
Получаем: x = 3; y = 0; |
z = 7: Точка B(3; 0; 7): |
||||||||||
2. Так как прямая a лежит в плоскости ®; то и точки A; B; лежащие на прямой a; так же лежат в плоскости ®: Точка же C лежит в плоскости ® по условию задачи.
Теперь, по трем известным точкам, лежащим в лоскости ®; можно найти уравнение плоскости ®; воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через 3 известные точки:
Уравнение плоскости |
13 |
|
|
¯ |
x |
|
x1 |
y |
|
y1 |
z |
|
z1 |
¯ |
x2 |
¡ x1 |
y2 |
¡ y1 |
z2 |
¡ z1 |
|||
¯ |
x3 |
¡ |
x1 |
y3 |
¡ |
y1 |
z3 |
¡ |
z1 |
¯ |
¡ |
¡ |
¡ |
||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯
¯
¯
¯ = 0
¯
¯
С учетом координат точек A; B и C; в нашем случае уравнение плоскости ® будет таким:
¯ |
x 1 |
|
|
y ( 1) z 3 |
¯ |
= 0 ; |
¯ |
x |
¡ |
1 |
y + 1 |
z |
¡ |
3 |
¯ |
= 0 ; |
||||||||||
¯ |
3 |
¡ |
1 |
|
|
0 |
¡ |
(¡1) |
7 |
¡ |
3 |
¯ |
¯ |
|
2 |
|
1 |
|
4 |
¯ |
||||||
¯ |
1 |
¡ |
1 |
( |
|
2) |
¡ ¡ |
1) |
0 |
¡ |
3 |
¯ |
|
¯ |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
¯ |
|
||
¯ |
¡ |
¡ |
¡ |
( |
¡ |
¡ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ |
|
¡ |
¯ |
|
||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Разложим определитель по первой сторке:
(x ¡ 1)(¡3 + 4) ¡ (y + 1)(¡6 ¡ 8) + (z ¡ 3)(¡2 ¡ 2) = 0
Получаем: x + 14y ¡ 4z + 25 = 0: Это и будет уравнение плоскости ®:
3. Чтобы найти вектор нормали n к плоскости ®; нужно вспомнить, что числовые коэффициенты, стоящие перед координатами x; y и z в уравнении плоскости, это как раз и есть координаты одного из возможных векторов нормали для плоскости ®:
В нашем случае, обратив внимание на уравнение плоскости ®; получим координаты вектора нормали
кэтой плоскости: n = f1; 14; ¡4g: Варианты заданий:
1.a :
2.a :
3.a :
x¡2 |
= y+3 |
= z¡3 |
; C(4; 0; 2) |
||
2 |
|
2 |
|
¡1 |
|
x+2 |
= |
y¡3 |
= |
z+3 |
; C(4; 3; ¡1) |
1 |
3 |
5 |
|||
x+5 |
= |
y+2 |
= |
z+6 |
; C(1; ¡1; 0) |
1 |
¡2 |
2 |
|||
14 |
Тема 3. |
4.a :
5.a :
6.a :
7.a :
8.a :
9.a :
10.a :
11.a :
12.a :
13.a :
14.a :
15.a :
16.a :
17.a :
18.a :
19.a :
20.a :
21.a :
x+4 = 4
x+9 = 2
x+1 = 3
x+1 = 1
x+5 =
¡2
x+5 =
¡1
x+4 = 2
x¡5 =
8
x¡3 =
3
x+1 = 3
x¡5 =
5
x+7 = 4
x+2 = 4
x¡9 =
3
x¡1 =
6
x+5 = 2
x¡3 =
1
x¡7 =
8
y¡2 4
y¡2 7
y¡5
¡4
y¡4 8
y¡2
¡1
y+5 1
y¡4
¡5
y+2 1
y¡4 12
y+7 10
y+1
¡2
y¡5 8
y¡1 7
y¡4
¡7
y+8 2
y+4
¡1
y+5
¡1
y¡8 4
=z¡+73 ;
=z11+1 ;
=z¡+43 ;
=z¡¡42 ;
=z10+3 ;
=z+91 ;
=z10¡3 ;
=z+72 ;
=z+53 ;
=z¡4 2 ;
=z¡2 4 ;
=z+84 ;
=z¡¡33 ;
=z¡3 4 ;
=z¡¡31 ;
=z¡+32 ;
=z¡7 9 ;
=z¡7 2 ;
C(2; 1; 5)
C(2; 4; 0)
C(0; 4; ¡2)
C(2; ¡5; 1)
C(¡4; 1; 3)
C(¡3; 2; 1)
C(2; 3; ¡1)
C(¡4; 3; 6)
C(¡5; 4; 2)
C(3; 1; 5)
C(¡2; 0; 1)
C(6; ¡3; 0)
C(2; ¡1; 4)
C(1; 4; 0)
C(2; 4; 2)
C(2; ¡7; ¡1)
C(¡4; 4; ¡3)
C(¡4; 0; ¡3)
Взаимное расположение прямой и плоскости |
15 |
|
|
Тема 4
Взаимное расположение прямой и плоскости
a |
n |
|
|
|
v |
A 
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Задание: В 3-мерном пространстве задана прямая a и плоскость ®: Определить взаимное расположение прямой a и плоскости ®; то есть узнать, какой из вариантов имеет место: прямая и плоскость параллельны или пересекаются. В случае параллельности прямой a и плоскости ® определить, лежит ли прамая a
16 |
Тема 4. |
на плоскости ®: В случае, если прямая a и плоскость
®не параллельны, найти точку их пересечения. Пример вычисления.
Прямая a : |
x¡4 |
= y+2 |
= z+1 |
|
¡2 |
1 |
3 |
Плоскость: ® : |
2x ¡ y + 5z ¡ 1 = 0: |
||
1.Найдем направляющий вектор прямой a: Из канонического уравнения прямой можно сразу получить координаты одного из направляющих векторов.
Аименно, координатами вектора будут являться числа, стоящие в знаменателях в каноническом уравнении прямой a : v = f¡2; 1; 3g:
2.Найдем вектор нормали для плоскости ®: Его так же можно получить из уравнения плоскости без дополнительных вычислений: n = f2; ¡1; 5g:
3.Чтобы определить взаимное расположение прямой a и плоскости ®; достаточно сравнить направля-
ющий вектор v = fvx; vy ; vz g = f¡2; 1; 3g прямой a и вектор нормали n = fnx; ny ; nz g = f2; ¡1; 5g плоскости ®:
В случае, если прямая a и плоскость ®; параллельны, вектор v и вектор n должны быть перпендикулярны. Перпендикляность в свою очередь будет означать, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:
v ¢ n = vxnx + vy ny + vz nz = 0:
В нашем случае: v ²n = (¡2)(2)+(1)(¡1)+(3)(5) = ¡4 ¡ 1 + 15 = 10 6= 0:
Таким образом, вектора v и n не перпендикулярны, а значит прямая a и плоскость ® не параллельны (то есть пересекаются в какой-то точке).
Замечание. Если бы прямая и плоскость оказались
Взаимное расположение прямой и плоскости |
17 |
|
|
бы параллельными, то для определения того, лежит ли прямая a на плоскости ®; нужно было бы определить, имеется ли у них хотя бы одна общая точка (для этого, например, можно было бы решить систему уравнений, составленную из уравнения плоскости и уравнения прямой). Если нашлась хотя бы одна общая точка, то это и означало бы, что прямая a на плоскости ®; В противном случае (в случае отсутствия общих точек) прямая a была бы параллельна плоскости ®; но не лежала бы в этой плосксти.
4. Найдем точку пересечения прямой a и плоскости ®: Для этого запишем уравнение прямой a в параметрическом виде. Напомним, что для того, чтобы из канонического уравнения прямой получить параметрическое, можно, например, приравнять кождое из 3-ех составляющих канонического уравнения к пара-
метру t; а затем выразить x; y; z |
через параметр |
|||||||
t : |
|
|
|
|
|
|
|
|
x¡24 = t |
|
x = |
¡ |
2t + 4 |
||||
8 y¡+2 |
= t |
; |
8 |
|
2 |
|||
< |
1 |
< y = t |
¡ |
|||||
: z |
+1 |
= t |
|
|
|
|
||
3 |
|
: z = 3t ¡ 1 |
||||||
Далее, подставив |
полученные |
выражения для |
||||||
x; y; z в уравнение плоскости ®; можно будет решить полученное уравнение относительно параметра
t :
2x ¡ y + 5z ¡ 1 = 0
2(¡2t + 4) ¡ (t ¡ 2) + 5(3t ¡ 1) ¡ 1 = 0
10t ¡ 4 = 0; t = 0:4
Подставив полученное значение параметра t в параметрическое уравнение прямой a; получим значе-
18 |
Тема 4. |
ния для x; y; z; которые как раз и будут координатами точки пересечения прямой a и плоскости ®:
В нашем слчае получаем:
8
<x = ¡2t + 4 = ¡0:8 + 4 = 3:2 y = t ¡ 2 = 0:4 ¡ 2 = 1:6
: z = 3t ¡ 1 = 1:2 ¡ 1 = ¡0:8
Точка пересечения прямой a и плоскости ® :
A(3:2; 1:6; ¡0:8):
Варианты заданий:
1.a :
2.a :
3.a :
4.a :
5.a :
6.a :
7.a :
8.a :
9.a :
10.a :
11.a :
12.a :
x¡2 1
x+2 1
x¡5 1
x+4 4
x+9
¡1
x+1 3
x+1 1
x+5 4
x+5
¡1
x+4 2
x¡5 8
x¡3 7
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
y+3 2
y¡3 2
y+2
¡2
y¡2
¡1
y¡2 7
y¡5 4
y¡4 8
y¡2
¡1
y+4 12
y¡4
¡5
y¡3
¡2
y¡4 12
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
z¡3
¡1
z+3 5
z+6 2
z+7
¡3
z+1 11
z+4
¡3
z+2
¡4
z+3 10
z+9 1
z+6 10
z+7 2
z+5 3
;2x ¡ 3y + z ¡ 2 = 0
;x + 2y + z + 3 = 0
;4x + y + z ¡ 1 = 0
;x + 3y + z ¡ 5 = 0
;¡x + y + z + 5 = 0
;x ¡ 6y + z + 1 = 0
;2x + y + 3z + 1 = 0
;x ¡ 2y + z ¡ 1 = 0
;¡x + y + 9z + 1 = 0
;x ¡ 2y ¡ z + 7 = 0
;x + 3y + z + 6 = 0
;x + y + z + 3 = 0
Взаимное расположение прямых в пространстве |
19 |
|
|
13.a :
14.a :
15.a :
16.a :
17.a :
18.a :
19.a :
20.a :
21.a :
x+1 3
x¡5 3
x+7 4
x+2 4
x¡9 3
x¡1 3
x+5 2
x¡3 1
x+7 8
=y+7 1
=y+1
¡2
=y+5 ¡11
=y¡1 2
=y¡4
¡7
=y+8 2
=y+4 1
=y+6
¡1
=y¡8 10
=z¡4 2 ; x ¡ 2y + z + 2 = 0
=z+42 ; 3x + y + z ¡ 1 = 0
=z+84 ; x + y + 5z ¡ 6 = 0
=z¡+33 ; x ¡ 5y + z ¡ 2 = 0
=z13¡4 ; 6x + y + 6z ¡ 5 = 0
=z¡¡31 ; x + 7y ¡ z + 7 = 0
=z¡+32 ; 8x ¡ y + z + 9 = 0
=z¡7 9 ; x + y + 5z ¡ 2 = 0
=z¡7 2 ; ¡2x + 2y + z ¡ 1 = 0
Тема 5
Взаимное расположение прямых в пространстве
20 |
Тема 5. |
U
a
V
U
V
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Задание: В 3-мерном пространстве заданы две прямые a и b: Определить взаимное расположение этих прямых, то есть узнать, какой из вариантов имеет место: прямые параллельны, пересекаются или скрещиваются. В случае параллельности прямых a и b определить, совпадают ли эти прямые или нет. В случае пересечения прямых a и b найти точку их пересечения. Во всех случаях так же требуется определить угол между направляющими векторами прямых.
Пример вычисления.
Прямая a : x+1 = y+2 = z+3
1 ¡1 2