Геометрия / Задания (пространство)
.pdfВзаимное расположение прямых в пространстве |
21 |
|
|
Прямая b : |
x¡1 |
= y¡3 |
= z¡5 |
|
¡1 |
4 |
¡2 |
1. Используя канонические уравнения, найдем на- |
|||
правляющие вектора прямых a и b : Для прямой a : U = f1; ¡1; 2g; для прямой b : V = f¡1; 4; ¡2g:
Сравнивая два этих вектора, можно видеть, что их координаты не являются попарно пропорциональными, т.е. нет числа k такого, что V = kU: Таким образом, направляющие вектора U и V прямых a и b не являются параллельными, а значит и сами прямые a
иb не параллельны.
2.Определим теперь, пересекаются прямые или скрещиваются. В случае пересечения прямых a и b они должны иметь одну общую точку. В случае их скрещивания, общих точек у этих прямых не будет. Чтобы определить наличие общей точки, запишем уравнение какой-нибудь из прямых (допустим, прямой a) в парамертическом виде:
|
x+1 |
|
|
8 |
|
¡ |
|
|
|
8 y+2 |
= t |
|
|
1 |
|
||||
< |
1 |
|
x = t |
|
|
|
|||
1 |
= t |
; |
< y = |
|
t |
¡ |
2 |
||
|
¡+3 |
= t |
|
|
¡ |
|
|||
: z¡2 |
|
: z = ¡2t ¡ 3 |
|||||||
Теперь подставим полученные выражения для x; y; z в уравнение прямой b: Если в полученном выражении не возникнет противоречия, т.е. если можно будет однозначно определить параметр t; то это и будет означать наличие точки пресечения прямых a и b; а подставив полученное значение t в параметрическое уравнение прямой a; можно будет определить координаты этой точки.
В нашем случае получаем:
x¡1 = y¡3 = z¡5
¡1 4 ¡2
22 |
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. |
|
(t¡1)¡1 |
= |
(¡t¡2)¡3 |
= |
(¡2t¡3)¡5 |
|
||
¡1 |
¡t¡5 |
4 |
¡2 |
|
||||
t¡2 = |
= |
¡2t¡8 |
||||||
¡1 |
4 |
|
|
¡2 |
|
|
||
Сравнивая 1-ую и 2-ую составляющую посдеднего уравнения, получаем:
4(t ¡ 2) = t + 5; 3t = 13; t = 13=8
Сравнивая 1-ую и 3-ую составляющую этого же уравнения, получаем:
¡2(t ¡ 2) = 2t + 8; 4t = ¡4; t = ¡1:
Видно, что мы получили 2 разных значения t; что как раз и означает, что система, составленная из уравнений прямых a и b несовместна.
Таким образом, прямые a и b не пресекаются. Учитывая, что ране мы определили, что прямые a и b не параллельны, можно утверждать, что прямые скрещиваются.
3. Найдем угол между направляющими векторами прямых a и b:
Воспользуемся формулой вычисления косинуса угла между векторами, используя скалярное произведение векторов U и V :
cos(®) = |
|
U ¢V |
|
= |
|
|
Ux Vx +Uy Vy +Uz Vz |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
jU j¢jV j |
|
pUx2+Uy2+Uz2pVx2+Vy2+Vz2 |
|||||||||||||||
В нашем случае получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos(®) = |
|
|
|
|
1 ¢ (¡1) + (¡1) ¢ 4 + 2 ¢ (¡2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p12 + (¡1)2 + 22p(¡1)2 + 42 + (¡2)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
cos(®) = |
¡9 |
|
|
= ¡3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
14 |
14 |
|
|||||||||
Итак, угол между направляющими векторами прямых a и b определяется равенством: cos(®) =
Варианты заданий:
Взаимное расположение прямых в пространстве |
23 |
|
|
1.a :
2.a :
3.a :
4.a :
5.a :
6.a :
7.a :
8.a :
9.a :
10.a :
11.a :
12.a :
13.a :
14.a :
15.a :
16.a :
17.a :
18.a :
19.a :
x¡2 11
x+2 1
x+5
¡3
x+2 2
x+1 3
x+1 3
x¡4 1
x¡5 2
x¡1 2
x¡4 2
x+6
¡3
x+3
¡4
x+2
¡5
x+5 3
x+7 4
x¡2 4
x¡9
¡3
x+4 2
x¡1
¡2
=y¡4 =
2
=y+2 = 5
=y¡¡21 =
=y¡¡12 =
=y+2 = 7
=y¡5 =
4
=y¡4 =
3
=y+2 =
¡1
=y+7 = 1
=y¡4 =
2
=y¡3 =
4
=y+4 = 1
=y+7 = 4
=y+1 = 3
=y+7 =
¡1
=y¡10 =
¡5
=y¡1 =
2
=y¡5 =
4
=y¡9 =
1
z+1 |
; b : |
x+1 |
= y¡4 |
|
= z¡2 |
|
¡1 |
|
1 |
¡8 |
|
¡4 |
|
z+3 |
; b : |
x+5 |
= y¡2 |
|
= z+3 |
|
3 |
|
|
¡2 |
1 |
|
10 |
z+6 |
; b : |
x+5 |
= y+5 |
|
= z+9 |
|
2 |
|
|
¡1 |
1 |
|
1 |
z |
; b : |
x+4 |
= y¡4 |
= z¡3 |
||
¡1 |
|
|
2 |
¡5 |
|
10 |
z¡1 |
; b : |
x¡5 |
= y+2 |
|
= z¡7 |
|
1 |
|
|
8 |
1 |
|
2 |
z+4 |
; b : |
x¡3 |
= y+4 |
|
= z+5 |
|
¡3 |
|
3 |
2 |
|
3 |
|
z¡2 |
; b : |
x+1 |
= y+7 |
|
= z¡2 |
|
4 |
|
|
3 |
10 |
|
2 |
z¡3 |
; b : |
x¡5 |
= y+1 |
|
= z¡4 |
|
0 |
|
|
5 |
4 |
|
2 |
z+9 |
; b : |
x+7 |
= y¡5 |
|
= z+8 |
|
14 |
|
4 |
8 |
|
¡1 |
|
z+6 |
; b : |
x+2 |
= y¡1 |
|
= z¡3 |
|
¡10 |
|
4 |
7 |
|
¡2 |
|
z¡7 |
; b : |
x¡9 |
= y¡4 |
|
= z¡4 |
|
2 |
|
|
3 |
¡1 |
|
3 |
z¡5 |
; b : |
x¡1 |
= y+8 |
|
= z¡1 |
|
3 |
|
|
6 |
2 |
|
¡6 |
z+2 |
; b : |
x+5 |
= y+4 |
|
= z+3 |
|
¡6 |
|
2 |
¡1 |
|
¡2 |
|
z¡4 |
; b : |
x¡3 |
= y+5 |
|
= z¡9 |
|
3 |
|
|
1 |
¡1 |
|
7 |
z¡8 |
; b : |
x¡7 |
= y¡8 |
|
= z¡2 |
|
4 |
|
|
8 |
4 |
|
7 |
z+3 ; b : |
x¡2 = y+3 |
= z¡3 |
||||
¡3 |
2 |
¡2 |
¡1 |
|||
z+6 |
; b : |
x+2 |
= y¡3 |
|
= z+3 |
|
3 |
|
|
1 |
¡3 |
|
5 |
z¡1 |
; b : |
x+5 |
= y+2 |
|
= z+6 |
|
6 |
|
|
1 |
¡2 |
|
2 |
z+3 |
; b : |
x+4 |
= y¡2 |
|
= z+7 |
|
¡3 |
|
4 |
4 |
|
¡3 |
|
24 |
Тема 5. |
20.a :
21.a :
x¡4 |
= y¡6 |
= z¡9 |
; b : x+9 |
= y¡2 |
= z+1 |
|||||
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
7 |
3 |
x+2 |
= y |
= z+2 |
; b : |
x+1 |
= y¡5 |
= z+4 |
||||
8 |
3 |
|
5 |
|
|
3 |
|
1 |
|
¡3 |
ЛИТЕРАТУРА
1.Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. Уч. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
2.Погорелов А.В. Лекции по аналитической геометрии. Харьков: 1963.
Романов Алексей Николаевич
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Сборник заданий для выполнения самостоятельных работ
Авторская редакция
Подписано в печать 22.06.2007 Формат 60 £ 84 1/16. Печ.л. 1,5. Уч.-изд.л. 1,5.
Тираж 100 экз.
Отпечатано: Полиграфический центр КАН
644050, г. Омск, пр. Мира, 32, к.11, тел. (3812) 65-47-31 Лицензия ПЛД N 58-47 от 21.04.97 г.