5семанглийскоеКалинина / третийкурс / величина / величинакалинина11

возрастающая (неубывающая) и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Аналогично , потому существует предел . Ибо любая убывающая (невозрастающая) и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Но, так как , то , ибо стремится к нулю при стремящимся к бесконечности. А значит = . Этот общий предел есть некоторое число, которое и называют длиной отрезка , обозначая его .

Покажем, что построенная функция удовлетворяет всем условиям ()-(). Выполнение ()- очевидно, >0 для любого отрезка .

Условие ()- достаточно проверить для случая, когда отрезок состоит из двух отрезков и . Поставим точку произвольно на отрезке . (Работаем на модели). Если точка является общим концом двух смежных отрезков ранга , то , в противном случае +1.

Таким образом, справедливо неравенство: , а отсюда, умножая каждую часть неравенства на ,имеем: . Перейдем к пределу при и получим: .

Установим справедливость свойства (). Пусть отрезок - произвольный отрезок, расположенный на прямой . Сдвигая оба конца этого отрезка вправо (или оба влево) на -ю часть единичного отрезка, мы получим отрезок равный данному, при этом числа и не изменятся. Сдвинем мысленно отрезок на модели вправо или влево на 1 см и проверим, что , а . Следовательно, если и два равных отрезка, расположенных на прямой (рис.4) , то мы можем, не меняя чисел и , перенести эти отрезки в такие положения, что точки и (начала отрезков) будут расположены на одном отрезке ранга (рис.5).

Рис. 4

Рис.5

Из равенства отрезков и вытекает равенство отрезков . Отсюда отрезок меньше чем -я часть единичного отрезка. Следовательно, точки и расположены либо на одном и том же отрезке ранга ., либо на соседних отрезках ранга . Проверьте этот факт с помощью модели. Потому получаем, что числа и отличаются друг от друга не более чем на одну единицу. И выполняется неравенство: , а при .

Свойство ( ) - вытекает из справедливых для единичного отрезка соотношений: и .

Итак, функция , определенная для расположенных на прямой отрезков, обладает свойствами ()-().

Если отрезок - произвольный отрезок плоскости или пространства, а отрезок равный ему отрезок на прямой , то положим: .

В результате длина оказывается определенной для любого отрезка , причем свойства ()-() выполняются.

Доказательство единственности.

Пусть - какая-либо другая функция, заданная на множестве всех прямолинейных отрезков и обладает свойствами ()-(). Покажем, что она совпадает с построенной выше функцией .

Обозначим единичный отрезок через . В силу свойства () имеем =1. Разделим на равных частей: В силу свойства ( ) имеем: и . В силу свойства () справедливо: и Следовательно:

Пусть - произвольный отрезок, расположенный на прямой .

Рассмотрим разбиение прямой на отрезки ранга и определим числа и . Обозначая через отрезок, образованный всеми отрезками ранга , целиком содержащимися в , найдем, используя () и (), .

10