Основные равносильности.

Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:

A & B  B & A; A & A  A; A & (B & C)  (A & B) & C;

A  B  B  A; A  A  A; A  (B  C)  (A  B)  C;

A  (B & C)  (A  B) & (A  C); A & (B  C)  (A & B)  (A & C);

A & (A  B)  A; A  (A & B)  A; A  A; (A & B)  A  B;

A  (A & B)  (A & B); A  (A  B) & (A  B);

Булевы функции.

Определение. Булевой функцией f(X₁, X₂, …, X_n) называется произвольная n – мерная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Вообще говоря, между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

X1	X2	X1	X1&X2	X1X2	X1X2	X1X2
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Исчисление предикатов.

Определение. Предикатом P(x₁, x₂, …, x_n) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.

Предикат от п аргументов называется п – мерным предикатом. Высказывания считаются нуль – мерными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.

Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.

Кванторы бывают двух видов:

1) Квантор общности. Обозначается (х)Р(х)( читается- для каждого х выполняется Р(х) ). Квантором общности называется высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное – в противном случае.

2) Квантор существования. Обозначается (х)Р(х).( читается- существует такое х, для которого выполняется Р(х) ) Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.

Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:

1) Перенос квантора через отрицание.

(x)A(x)  (x)A(x); (x)A(x)  (x)A(x);

2. Вынесение квантора за скобки.

(х)(А(х) & B)  (x)A(x) & B; (x)(A(x) & B)  (x)A(x) & B;

(х)(А(х)  B)  (x)A(x)  B; (x)(A(x)  B)  (x)A(x)  B;

3) Перестановка одноименных кванторов.

(y)(x)A(x,y)  (x)(y)A(x,y); (y)(x)A(x,y)  (x)(y)A(x,y);

4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.

Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.

Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:

1) A  (B  A);

2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C));

3) (B  A)  ((B  A)  B);

4) (x_i)A(x_i)  A(x_j), где формула А(х_i) не содержит переменной x_i.

5) A(x_i)  (x_j)A(x_j), где формула А(х_i) не содержит переменной x_i.