11

Лекция 19. Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л (T-True и F-False).

(Волга впадает в Каспийское море)- истина-И;

(2<3) – истина-И, (2>3) – ложь-Л.

С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1. Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р (читается неP) или .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

P	Р
И	Л
Л	И

(Волга впадает в Каспийское море)- И, (Волга впадает в Каспийское море)- Л

(1>0) – И, (1>0) – Л

2) Конъюнкция(логическое умножение; логическая операция и). Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или РQ.

P	Q	P&Q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

И Л

(Волга впадает в Каспийское море)  (Земля вращается вокруг Солнца )- Л

И И

(2>0) & (5<10) - И

3) Дизъюнкция(логическое сложение; логическая операция или). Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается PQ.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

И Л

(Волга впадает в Каспийское море)  (Земля вращается вокруг Солнца )- И

Л Л

(2<0)  (5>10) - Л

4) Импликация(). Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается PQ (или РQ) (читается: если P, то Q; из P следует Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

5) Эквивалентность (Эквиваленция). Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается РQ или РQ.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы  и .

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

p	r		(pr)
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л

p	r
И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы  и .

Составим таблицы истинности для заданных формул.

p	q	r	pq	(pq)r
И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И
И	Л	И	Л	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	И

p	q	r	pq	qp	(pq)(qp)	(pq)(qp)r
И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	И

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.