Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Определенный_интеграл / Л_22_Определенный_интеграл.ppt
Скачиваний:
14
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
1.15 Mб
Скачать

Площадь поверхности вращения

Если кривая задана параметрическими уравнениями

 

x x(t),

y y(t),

 

t1 t t2

 

 

 

t2

 

 

2

 

2

 

 

 

Sx 2 y(t)

dt.

 

 

(x (t))

 

( y (t))

 

 

 

t1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если дуга задана в полярных координатах

 

r r( ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

Qx 2 r sin

r

d

 

 

 

(r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды

 

x2 / 3 y2 / 3

a2 / 3

вокруг оси Ox

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

y (a2 / 3 x2 / 3)3 / 2 ,

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 / 3 x2 / 3 1/ 2

,

 

 

 

 

3 2 / 3

,

2 / 3 1/ 2 2 1/ 3

 

 

 

 

 

 

(a

x

) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1/ 3

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1 a2 / 3 x2 / 3

 

a1/ 3 .

 

 

 

 

 

 

 

x2 / 3

 

 

 

 

x

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,

,

.

Пример:

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / 3

x

2 / 3

 

 

1/ 3

 

 

 

 

Sx 2 y

1

( yx )2 dx

 

 

1 ( yx )2 1 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

.

 

 

 

 

 

 

x2 / 3

 

 

 

 

 

 

x

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2 / 3

 

2 / 3

 

3/ 2

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qx 2 2 (a

x

)

a

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x1/ 3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 3 a

(a

2 / 3

x

2 / 3

)

3/ 2

x

1/ 3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 3

3 (a2 / 3

x2 / 3)5 / 2

 

a

12

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

 

5/ 2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? 2 Механическое приложение

Пройденный путь

Путь, пройденный точкой за промежуток времени [t0, T], равен

соответствующему определенному интегралу от скорости движения точки

T

s v(t)dt

t0

Замечание:

Результат верен лишь в том случае, если скорость v=f(t) не меняет знака, например, f(t) 0. Если же скорость v меняет знак, то указанная выше формула дает приращение абсциссы движущейся точки за промежуток времени [t0, T].

Работа

Работа, произведенная силой F при перемещении точки М из положения s=a в положение s=b, равна соответствующему определенному интегралу от силы:

b

A F(s)ds

a

Масса стержня переменной плотности

Будем считать, что отрезок [a ,b] оси х имеет массу с переменной линейной плотностью (х) 0,

где (х) – непрерывная на [a ,b] функция. Общая масса этого отрезка:

b

M (x)dx

a

? 3 Приближенное вычисление

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

 

b

y ( x )

f (x)dx

 

 

a

 

 

 

 

y

= f ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h b

a

 

y 0

y 1

y 2

y i

y i + 1

y n

n

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

0

а = ах 0

x 1

x 2

x i

x i + 1

x n b= b

х

 

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

y i

h

y i + 1

y i

h

y

i + 1

 

 

 

 

S h2 ( yi yi 1 )

y ( x )

 

 

 

 

y

=

f (

x

)

 

 

 

 

 

 

y 0

y 1

y 2

y i

 

y i + 1

y n

y i

h

y

i + 1

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

а = х 0

x 1

x 2

x i

 

 

 

x i + 1

x n = b

х

 

 

 

b

 

( y0 y1 ) h

 

y2 ) ... h

 

 

f (x)dx h

( y1

( yn 1 yn )

a

2

 

 

2

 

2

 

 

 

b

 

y0

 

 

 

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx h

 

y1

y2 ... yn 1

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

2

1

1 x2 dx

0

h=0,1

i

xi

yi

0

0,0

1,0000

1

0,1

1,0050

2

0,2

1,0198

3

0,3

1,0440

4

0,4

1,0770

5

0,5

1,1180

6

0,6

1,1662

7

0,7

1,2207

8

0,8

1,2806

9

0,9

1,3454

10

1,0

1,4142

1

 

 

 

 

 

 

1,0000

 

1,4142

 

 

 

1 x

2

dx 0,1

1,0050 1,0198 ... 1,3454

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1 11,4838 1,148

1

 

 

 

 

 

 

1,0000

 

1,4142

 

 

 

1 x

2

dx 0,1

1,0050 1,0198 ... 1,3454

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1 11,4838 1,148

1

 

 

1

 

 

1 ln(1

 

 

1 x2 dx

 

 

 

) 1,1479

2

2

0

 

 

2

 

 

2

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.