Пример:
Вычислить площадь лунки, ограниченной дугами окружностей
r 2a cos |
r 2asin |
0 / 2, a 0 |
Решение:
,
, |
. |
.
2a2 |
/ 4 |
(1 cos 2 )d |
|
||
|
0 |
|
.
Окружности пресекаются при
/ 4
1 |
/ 4 |
4a2 sin2 d |
S 2 |
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
1 |
|
/ 4 |
|
|
|
2 |
|
2a |
|
sin |
|
|
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
a |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
? 1.2. Длина дуги кривой
В декартовых координатах:
Если гладкая кривая задана уравнением y = f(x), то длина l ее дуги:
b |
|
2 |
|
|
l |
dx, |
|||
1 ( y ) |
|
a
где a и b – абсциссы концов дуги.
Пример:
Найти длину полукубической параболы
y2 x3 |
от начала координат до точки (4, 8). |
|
Пример:
Найти длину полукубической параболы
y2 x3 |
от начала координат до точки (4, 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, |
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
y x3/ 2 |
|
|
y |
3 x1/ 2 |
|
||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
dx, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (y ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
9 |
|
4 |
2 |
|
|
9 |
3/ 2 |
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
1 |
|
xdx |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
(10 10 |
1) |
||||||
|
4 |
9 |
|
|
27 |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Кривая задана параметрически :
x = x(t), y = y(t), (t1 t t2):
l |
t2 |
|
2 |
|
2 |
dt. |
|
||||||
(xt ) |
|
( yt ) |
|
|||
|
t1 |
|
|
|
|
|
,
,
,
,
.
Пример:
Найти длину астроиды
x a cos3 t, |
y asin3 t |
|
|
|
|
|
Решение: |
.
Пример:
Найти длину астроиды
|
x a cos3 t, |
y asin3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
xt |
|
, |
|
|
|
|
yt 3asin2 t cost |
||||||||
3a cos2 t sint |
|
|
|
|||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
dt. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
l (xt ) |
|
( yt ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
/ 2 |
9a2 cos4 t sin2 t |
9a2 sin4 t |
cos2 tdt |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
3a sin |
2 |
t |
|
/ 2 |
3a . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3a |
sint costdt |
|
|
|
|
|
l 6a |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.
Кривая задана параметрически :
x = x(t), y = y(t), z = z(t), (t1 t t2):
t2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
dt. |
|
|||||||
l (xt ) |
|
( yt ) |
|
(zt ) |
|
||
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
В полярных координатах
Если задано полярное уравнение гладкой кривой= ( ) и двумя лучами :
|
|
2 |
|
2 |
|
|
l |
|
d |
||||
|
( ) |
|
,
,
,
,
.
Пример:
Найти длину кардиоиды
r a(1 cos ) |
(a 0). |
Решение:
.