Пример:
Вычислить площадь, ограниченную синусоидой y = sin x и осью Ox, при 0 х 2
.
–
.
2
sin xdx
Решение:
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
S sin xdx |
sin xdx |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
sin xdx cos x |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos cos0) ( 1 1) 2, |
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
cos x |
|
(cos2 cos ) (1 ( 1)) 2, |
|||||
|
|||||||
S=2-(-2)=4
Пример:
Вычислить площадь, ограниченную кривыми
y x |
и y x2 . |
Пример:
Вычислить площадь, ограниченную кривыми
y x |
и y x2 . |
Решение:
.
–
.
2
sin xdx
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
S sin xdx |
sin xdx |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
sin xdx cos x |
|
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos cos0) ( 1 1) 2, |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos x |
|
(cos2 cos ) (1 ( 1)) 2, |
|||||
|
|||||||
S=2-(-2)=4
Вычисление площадей кривых, заданных параметрически
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = x(t), y = y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
x = a, x = b и отрезком [a, b] оси Ox:
t2
S y(t)x (t)dt,
t1
где t1 и t2 определяются из уравнений a = x(t1), b = x(t2) (y(t) 0 при t1 t t2)
Замечание
Формула
t2
S y(t)x (t)dt,
t1
применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t1 до t2 должно соответствовать
обходу контура по часовой стрелке).
|
|
|
Пример: |
Найти площадь петли кривой |
|||
x a(t2 1), |
y b(4t t3) |
(a 0, b 0) |
|
|
|
|
Пример: |
Найти площадь петли кривой |
|||
x a(t2 1), |
y b(4t t3) |
(a 0, b 0) |
|
Решение:
Найдем точки пересечения кривой с координатными осями
х = 0 при t = 1;
y = 0 при t = 0, t = 2.
(0, 3b) при t = 1; |
(0, –3b) при t = –1; |
(–a, 0) при t = 0; |
(3a, 0) при t = 2. |
|
|
|
|
|
Пример: |
|
||
Найти площадь петли кривой |
||||||||
x a(t2 1), |
y b(4t t3) |
(a 0, b 0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, 3b) при t = 1; |
(0, –3b) при t = –1; |
||||||
|
(–a, 0) при t = 0; |
(3a, 0) при t = 2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
3a |
ydx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 y(t)x |
(t)dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
t |
|
|
256 |
|
|||||
2 b(4t t |
)a 2tdt |
4ab (4t |
t |
)dt |
4ab |
t |
|
|
|
ab |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
15 |
|||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
.
Вычисление площадей в полярных координатах
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением = ( ) и двумя лучами = , = ( < ):
S 1 2d
2
Пример:
Вычислить площадь лунки, ограниченной дугами окружностей
r 2a cos |
r 2asin |
0 / 2, a 0 |