-
Гипотеза о значении математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при известной дисперсии.
Предполагаем, что
генеральная совокупность имеет нормальное
распределение
,
где значение
известно. При уровне значимости
нужно проверить гипотезу
.
В качестве альтернативной можно
использовать одну из следующих гипотез
,
,
.
В качестве статистики воспользуемся
случайной величиной
,
(3.1)
которая при истинной
гипотезе
имеет стандартное (нормированное)
нормальное распределение
.
Критическую область
определяем с помощью таблицы функции
Лапласа
(6.2) (Тема: Последовательность независимых
испытаний) (табл. 3).
Если альтернативная
гипотеза имеет вид
,
то используем левостороннюю критическую
область, которая удовлетворяет (рис.
3.1) следующему условию:
.
(3.2)
Таблицы составлены
только для положительных значений
аргумента, поэтому из таблицы найдём
,
учитывая, что
.
(3.3)
Отсюда следует,
что критическая область – это множество
таких
,
для которых
.
(3.4)
|
Рис. 3.1 |
Рис. 3.2 |
Рис. 3.3 |
Если альтернативная
гипотеза имеет вид
,
то используем правостороннюю критическую
область, которая удовлетворяет (рис.
3.2) условию
.
(3.5)
Из таблицы получаем
значение
,
учитывая, что
.
(3.6)
Отсюда находим критическую область
.
(3.7)
И, наконец, при
альтернативной гипотезе
используем двустороннюю критическую
область, удовлетворяющую (рис. 3.3) условию
.
(3.8)
Учитывая определение абсолютной величины, находим
.
По формулам (3.5) и (3.6) получаем условие использования таблицы:
.
(3.9)
Таким образом, критическая область имеет вид
.
(3.10)
Для вычисления
значения статистики с помощью формулы
(3.1) нужно по выборке найти
.
Пример 3.1. Предположим, что электроламповый завод гарантирует среднюю продолжительность безотказной работы лампочек в течение 800 ч со стандартным отклонением 120 ч. Из некоторой партии производится случайная выборка 25 лампочек, для которых средняя продолжительность работы равна 750 ч. Можно ли утверждать, что исследуемая партия лампочек не удовлетворяет требованиям гарантии?
Δ Пусть
– средняя продолжительность горения
лампочек во всей партии. Согласно схеме
статистической проверки гипотезы,
имеем.
1) Нулевая гипотеза
.
Альтернативная гипотеза
.
2) – 3) Выберем
.
Объём выборки
задан.
4) Если
– выборочное среднее, то в качестве
статистики выберем величину
,
имеющую стандартное нормальное
распределение
.
5) При уровне
значимости
вероятность гарантированной
продолжительности работы лампочки
.
По таблице функции Лапласа (таблица 3)
находим значение
(квантиль), такое, что площадь заштрихованной
области равна 0,95 (рис. 3.4). Таким образом,
область принятия гипотезы есть интервал
.
|
Рис. 3.4 |
6) а) Партия лампочек
не удовлетворяет требованиям гарантии,
если значение
,
вычисленное по выборке, меньше чем
;
б) В других случаях считаем, что партия удовлетворяет требованиям гарантии.
7) По выборочным
данным находим
.
Так как
,
то исследуемая партия лампочек должна
быть забракована. Время безотказной
работы лампочек в партии значительно
расходится с гарантированным временем
работы (800 ч и более). Это решение будет
неверным менее чем для 5 %
случаев.
▲