Признак сходимости
Теорема. |
|
|
|
|
|
|
Если |
un 0, |
vn 0 |
lim |
un |
h, |
|
и существует предел |
||||||
|
||||||
|
|
|
n vn |
|||
где h – число, отличное от нуля, то ряды
un и |
vn |
ведут одинаково в смысле сходимости.
|
|
|
|
|
|
|
2n 5 |
||
Пример: |
|
|
|
|
3n2 2n |
||||
n 1 |
||||
lim |
2n 5 |
: |
1 |
|
2 |
, |
|
n |
3 |
||||
n 3n2 2n |
|
|
|
|||
1 |
|
расходится |
|
расходится |
|||
n 1 n |
|||
Предельный признак Даламбера
Жан Лерон Даламбер (1717
– 1783) – французский математик
Если существует предел
lim un 1 ,
n un
то при < 1 ряд сходится, а при > 1 –
расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
|
n 1 2nn |
||
|
|
||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un |
|
n |
; |
u |
n 1 |
|
n 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
un 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
lim |
lim |
(n 1)2n |
lim |
n 1 |
lim |
|
1 n |
|
1 |
1 |
||||||||
un |
||||||||||||||||||
|
2n 1n |
|
2n |
2 |
2 |
|||||||||||||
n |
n |
|
|
|
n |
n® |
|
|
||||||||||
Ряд сходится
Пример: |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
1 |
1! |
|
|
|
... |
|
|
... |
|||||||
2! |
n! |
||||||||||||||
un |
1 |
|
; |
un 1 |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|||
|
(n 1)! |
|
|
|
|||||||||||
n! |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim un 1 |
lim |
n! |
lim |
1 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
||||
n un |
n (n 1)! |
n n 1 |
|
||||
Ряд сходится
Признак Коши (радикальный)
Коши Огюстен Луи (21.08.1789 - 23.05.1857) – французский математик
Если существует предел
lim n un
n®
то при < 1 ряд сходится, а при > 1 –
расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2n2 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim n un lim |
|
|
lim |
n2 |
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||
n |
n 3n2 5 |
|
n |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||||
Ряд сходится
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример: |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
n 1 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1. |
|
? |
||
|
|
|
||||||
lim n un lim 1 |
|
|
||||||
n® |
|
n® |
n |
|
|
|
||
|
|
1 n |
e 0 |
ряд расходится |
lim un lim 1 |
|
|||
n® |
n® |
n |
|
|
Признак Коши (интегральный)
Коши Огюстен Луи (21.08.1789 - 23.05.1857) – французский математик
Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1; ), то
ряд |
|
|
(n) |
|
n 1 |
и несобственный интеграл
(x)dx
1
одинаковы в смысле сходимости.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(ряд Дирехле или |
|
|
|
||
Пример: n 1 n p |
общегармонический ряд) |
|||
1 |
удовлетворяет условиям |
|||
f (x) |
|
интегрального признака Коши |
||
x p |
||||
dx
1 x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ряд Дирехле или |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример: n 1 n p |
|
общегармонический ряд) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
b dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
lim |
|
p |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
b 1 x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
lnприb 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
limпри 0 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||
b |
1 |
|
p |
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limпри |
|
|
1. |
|
|
|
p 1 |
|
|
|
p |
||||||||||
b |
p 1 |
|
|
( p 1)b p 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится при р>1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится р 1. |