Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
attachments / Л_28_Числовые_ряды.ppt
Скачиваний:
13
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
3.12 Mб
Скачать

Признак сходимости

Теорема.

 

 

 

 

 

Если

un 0,

vn 0

lim

un

h,

и существует предел

 

 

 

 

n vn

где h – число, отличное от нуля, то ряды

un и

vn

ведут одинаково в смысле сходимости.

 

 

 

 

 

 

2n 5

Пример:

 

 

 

3n2 2n

n 1

lim

2n 5

:

1

 

2

,

 

n

3

n 3n2 2n

 

 

 

1

 

расходится

расходится

n 1 n

Предельный признак Даламбера

Жан Лерон Даламбер (1717

– 1783) – французский математик

Если существует предел

lim un 1 ,

n un

то при < 1 ряд сходится, а при > 1 –

расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

 

n 1 2nn

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

un

 

n

;

u

n 1

 

n 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

lim

lim

(n 1)2n

lim

n 1

lim

 

1 n

 

1

1

un

 

2n 1n

 

2n

2

2

n

n

 

 

 

n

n®

 

 

Ряд сходится

Пример:

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

1!

 

 

 

...

 

 

...

2!

n!

un

1

 

;

un 1

 

1

 

 

;

 

 

 

 

(n 1)!

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim un 1

lim

n!

lim

1

 

0 1

 

 

 

 

n un

n (n 1)!

n n 1

 

Ряд сходится

Признак Коши (радикальный)

Коши Огюстен Луи (21.08.1789 - 23.05.1857) – французский математик

Если существует предел

lim n un

n®

то при < 1 ряд сходится, а при > 1 –

расходится. Если = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2 1

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n un lim

 

 

lim

n2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

n

n 3n2 5

 

n

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

Ряд сходится

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

1

 

 

 

 

n 1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1.

 

?

 

 

 

lim n un lim 1

 

 

n®

 

n®

n

 

 

 

 

 

1 n

e 0

ряд расходится

lim un lim 1

 

n®

n®

n

 

 

Признак Коши (интегральный)

Коши Огюстен Луи (21.08.1789 - 23.05.1857) – французский математик

Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1; ), то

ряд

 

 

(n)

 

n 1

и несобственный интеграл

(x)dx

1

одинаковы в смысле сходимости.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(ряд Дирехле или

 

 

 

Пример: n 1 n p

общегармонический ряд)

1

удовлетворяет условиям

f (x)

 

интегрального признака Коши

x p

dx

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ряд Дирехле или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: n 1 n p

 

общегармонический ряд)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

b dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

lim

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

b 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

lnприb 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limпри 0

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

b

1

 

p

 

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limпри

 

 

1.

 

 

 

p 1

 

 

 

p

b

p 1

 

 

( p 1)b p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится при р>1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расходится р 1.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке attachments