Исследование рядов
Исследование на |
|
|
|
Нахождение |
|
сходимость |
|
суммы ряда |
|
|
|
|
|
|
Пример:
Исследовать сходимость бесконечной геометрической прогрессии
a aq aq2 aqn ... aqn 1 ..., (*)
где n 0.
Пример: a aq aq2 aqn ... aqn 1 ...,
Sn – сумма n первых членов ГП:
Sn a(1 qn ) |
|
|
a |
|
aqn |
. |
1 q |
|
|||||
1 q |
|
1 q |
||||
Пример:
Sn |
|
|
a |
|
|
aqn |
||
1 |
q |
1 |
q |
|||||
|
|
|||||||
lim aqn 0
n 1 q
1) q 1
lim Sn |
|
a |
. |
|
1 q |
||||
n |
|
|||
Вывод:
ряд (*) сходится и его сумма равна
S |
|
|
a |
|
1 |
q |
|||
|
||||
Пример:
Sn |
|
|
a |
|
|
aqn |
||
1 |
q |
1 |
q |
|||||
|
|
|||||||
lim aqn
n 1 q
2) q 1
lim Sn
n
Вывод:
ряд (*) расходится и суммы не имеет
Пример: |
3) q 1 |
|
2 |
n |
n 1 |
..., |
|
a aq aaq ....aqa... ... aq |
|
|||
Sn na, |
|
|
|
|
lim Sn , |
|
|
|
|
|
Вывод: |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
ряд (*) расходится и суммы |
||
|
|
не имеет |
|
|
Пример: |
4) q 1 |
|
a aq aq |
2 |
aq |
n |
|
n 1 |
n 1 |
..., |
||
|
|
... |
|
|
|||||
|
a a |
... ( 1) |
|
aq ... |
|||||
n четно:
n нечетно:
Sn 0,
Sn не стремится ни к какому пределу
Sn a,
Вывод:
ряд (*) расходится
3. Признаки сходимости
Критерий Коши
(необходимые и достаточные 
условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,...
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
an p an |
|
Критерий Коши
(необходимые и достаточные 
условия сходимости ряда)
|
|
Для того, чтобы ряд |
u1 u2 ... un ... un |
|
n 1 |
был сходящемся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
un 1 un 2 ... un p .